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Vektoren und Vektorräume, Teil 2; Multiplikation mit Zahlen


CC-BY-NC-SA 3.0

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im – ersten Teil es also ums Addieren gegangen Pfeile – Zwiebeleinkäufe – Rechtsvorschriften – wie führte man die sinnvollerweise – addieren dass es einen Teil von dem was Vektoren ausmacht – ?? Vektoren können noch mehr man kann sie nicht nur Tiere man kann sie – modifizieren – und somit Zahlen multiplizieren – alles andere kommen uns morgen eine – andere Modifikation – andere Produkte – erstmals Korrekturen nur mit Zahlen multiplizieren – heißt dann auch gerne Multiplikation mit Karen – oder skalar Multiplikation – sein jetzt extra nicht das es nicht mit Skalarprodukt – durcheinanderbringen – das seiner Geschichte ich habe ausdrücklich Modifikation mit Zahlen – man kann Vektoren – mit Zahlen multiplizieren – zweites auch mal selbst wenn das der Vektor A ist wie müsste es aussehen dass ich Bilder – zwei Komma fünf mal den Vektor A – und die Misses aussehen wenn ich bilde minus drei Mal den Vektor A – mal Zeichen dazwischen oder ohne – das Malzeichen auch weglassen – wenn ich den ja aber eins zwei drei versus zwei Komma fünf mal den Vektor eins zwei drei schon Vektor dazu – und was ist minus drei mal Gegenvektor eins zwei drei beim Einkauf – lassen vom einen zwei Komma fünf – was ist wenn ich zwei Komma fünf rechne mal zwei Kilogramm Kartoffeln – plus eine Tafel Schokolade – aus gesundes und gesundes – so – was ist wenn ich das mal zwei Komma fünf nehme ich banal wissen was das sein wird und sogar die Rechenvorschriften – was passiert wenn ich rechne zwei Komma fünf mal die Rechenvorschrift – das Ticket ganz haarsträubend aus zwei Komma fünf mal – ein Rechenvorschrift – X wird abgebildet – was nehme dann nur wir eben fünfzig – plus – minus fünfzig Grad minus sieben was wird passieren – das überlegen sich mal gerade es wird nichts dramatisches passiert Smith offensichtlich sein was passiert aber Komma ✂ ist offensichtlich relativ harmlos war Komma fünfmal diesen Fall soll wohl heißen Einfall – der – zweieinhalbfachen – Länge aber selben Richtung – das sollte der sein – und minus – drei mal diesen Fall soll wohl heißen – die dreifache Länge – kein Platz mehr dafür Masse quer durch die dreifache Länge aber die Gegenrichtung – offensichtlich soll das – Dasein – am hier oben – ?? ja schön – was machen Sie sie können wohl einfach nur multiplizieren zwei Komma fünf zwei tausend zwei sind fünf und zwei Komma fünf mal drei sind sieben Komma fünf – dir ganz offensichtlich auch sinnvollerweise – nur ein nach dem anderen modifizieren also minus drei minus sechs – neun – die unten – seitlich – nachdenken – was werde ich machen ich werde was sie auf der rechten Seite steht wenn ich mit zwei Komma fünf multiplizieren – die Rechenvorschrift sagt gegeben irgendein Ding – wieder mal fünf sieben abziehen – was soll das zwei Komma fünf fache seines soll das zwei Komma fünf fache immer vom Ergebnis seiner zwei Komma fünf mal – ziemlich Kopfrechnen Misserfolg war dieses hier zwei Komma fünf mal – fünf X verraten sieben sie haben's netterweise ausgerechnet – diesen Frauen – das soll das Vielfache einer Rechenvorschrift einer Funktion sein Tier beim Einkaufen die zwei Komma fünf mal einkaufen gehen sozusagen jedes weitere Kilogramm Kartoffeln und eine Tafel Schokolade – mitbringen ?? was haben Sie dann haben sie fünf Kilogramm Kartoffeln – und zwei Halbtafeln – Schokolade zuverlässig zu schreiben – ist offensichtlich – ziemlich banal – was jetzt nicht so banal ist – ist welche – Gesetze jetzt eigentlich – hinterstecken – des schreiben wir so hin und müssen sofort was sie tun müssen ?? kann offensichtlich nicht anders sein das das komisch – fand die aus mathematischer Sicht zusätzliche Gesetze dahinterstecken – und die mal an – das eben gucken aber schon wieder keine Überschrift ?? gemacht okay das man die Gesetze für die Addition – zweier Vektoren – überschreiben soll – und jetzt geringere Gesetze bei denen die Multiplikation – von Vektoren mit Zahlen vorkommt – und vielleicht auch – zum Mischmasch – aus Addition von Vektoren und Modifikationen – zahlen – sowas in der Art jetzt aber mit der – Multiplikation – ?? – Gesetze für die Multiplikation – vielleicht zusammen mit der Addition – was fällt Ihnen auf ✂ okay es fällt Ihnen auf es ist in gewisser Weise kommunikativ – aber jetzt ?? bisschen vorsichtig sein mit dem kommunikativen – siebenmal – Schreibezimmers – und Rebellin eins zwei drei ?? und das andersrum eins zwei – Uppsala eins zwei drei mal sieben – tausend ein die verschiedene Sachen ich da modifizieren – eben bei der Addition – eins zwei drei – plus irgendwas – Dave als gleichartige – Sachen die ich addiert habe und den hier auf der anderen Seite in der anderen Richtung das heißt eigentlich – Kommutativgesetz – zwei gleichartige – Sachen in einer Rechenoperationen – Leiste Reihenfolge gab es indessen zwei verschiedenartige – Sachen bei dem Produkt mit einer Zahlzahl – mal Vektor – das es jetzt irgendwie nicht so – tiefsinnig – ?? wird ganz schlicht ergreifend folgendes sagen um das hier zu definieren – Vektor mal Zahl – sage ich einfach gerechtes Zahl mal Vektor ich werde dieses so definieren dass das rauskommen soll Punkt wenn jemand den Schreibvektor mal Saal sage ich ihm oder ihr – Vektormahlzeit – kennen wenn ich stattdessen ist bitte zahmer Vektor – das ist wirklich nicht sonnentiefes – Gesetz – man verwendetes – positives Gesetz und es ist streng genommen auch nicht wirklich kommunikativ – Kommutativgesetz – stehen zwei Sachen derselben Art – der Saison zwei – verschiedenartige – Sachen – ist es nicht – wirklich so – kommunikativ – was könnten andere Gesetzmäßigkeiten – sein ✂ ?? das sagen ?? Standard ?? Punkt vor Strich wäre nicht zu einer Gesetzmäßigkeit – das Verlangen war einfach Normalzahlen – haben – einmal drei plus vier mal sieben – plus fünf wir verlangen einfach das erst das mal gerechnet wird – und dann das Plus gerechnet wird das ist negative Gesetzmäßigkeit – das macht man einfach so vor Strichrechnung – also das erst einmal drei und erst vier mal sieben gerechnet wird und das dann addiert wird – hätte man auch anders machen können Leerzeichen bisschen umständlicher – ist keine – würde sagen keine Gesetzmäßigkeit – dieser Art sondern – nur – ?? Konvention – wenn so was da steht – Punkt Anführungsstriche zu – er sie Punkt – und eine Strichrechnung – wäre noch nicht von dieser Art – recht kurz noch mal wo das keiner mehr Komma solche Zahlen an wenn sie was mit Zahlen haben eins plus zwei mal drei das kann sie dabei Zahlen machen ✂ so weit sein dürfen Sie also ausmultiplizieren – ausklammern das ist einmal drei plus zwei mal drei – wenn sie eins plus zwei mal drei Kilogramm Kartoffeln haben können Sie einmal die drei Kilogramm den unter Nummer zwei mal drei Kilogramm ähm – muss dasselbe sein – sie können ausmultiplizieren – bei Zahlen – das Komma ?? Komma Vektoren – uns angucken wenn sie die Summe zweier Vektoren handelt – Beistrich die Malfeile – die Summe zweier Pfeile – ?? erster Fall zweiter Fall zweiundsiebzig – A – B – A groß B ich habe die Summe zweier Pfeile – jetzt billig ein Vielfaches – was passiert wenn sie A und B und A plus B mit drei multiplizieren – Punkt ✂ sie können dieses drei Kiste aufgebahrt ist insgesamt einfach mal – komplett jeder Länge um den Faktor drei vergrößern – ?? nahm sich hier – sind das Diar – zerbricht und dreifache Länge – drei B – war – vielleicht drei B – und dann haben sie hier natürlich – in der Summe auch das dreifache der Summe dreimal ab SP – dieses Dreieck ja nur – in jeder – Richtung Faktor drei – gestreckt – ?? – Ges könnte ich aber auch gerechnet haben – ?? des vermisse Gründen mäßig – wirklich auf das dreifache von Abflussbäder – unten jetzt auch kommen können ✂ ?? einmal gab es ?? wie sie sind einfach diese Seite dreimal H – diese Seite dreimal B die Summe aus dreimal AHA und dreimal B – gibt auch hier die Diagonale das es dreimal ab es dreimal wie – es ist in Wirklichkeit hieße nicht – ?? was sie daran sehen ?? – können aus modifiziert dreimal A plus B können aus Bezirkes dreimal A Summary – ist jetzt – so – Raketentechnik – aber doch schön zu wissen dass wir aus modifizieren können das muss eines Gesetzes sei – eine Zahl – mal eine Summe von Vektoren – in der Situation darf ich ausmultiplizieren – ist die Zahl mal den ersten Vektorbesitzer – meinen zweiten begünstigt offensichtlich nicht nur mit diesen beiden Vereinen und der Zahl drei sind das gilt allgemein mit Einkäufen was auch immer mittelmäßig vorführen – das will ich von Vektoren haben sonst irgendwas – fürchterlich faul – das du mehrmals ein Gesetz aufschreiben – also ich hätte gerne – für – jede Zahl – in den ich die Zahl dieser Machart für jede Zahl A – Punkt – alle Vektoren – sind immer ?? und V des Vektorraumsinspektor – ?? was soll ich auf die Zeile – des Vektorraums – gilt – ich darf ausmultiplizieren – Jones war gerade hin was heißt das jetzt eine was schreibe ich als Gleichungen – für ich darf ausmultiplizieren ✂ so wenn Sie diese Gleichung hier Komma – wenn Sie diese Gleichung hier eine strategisch richtige Stelle stehen haben dann ist es einfach ?? Arm mal plus V ist gleich analog plus Amal V muss offensichtlich die allgemeine Gleichung sein – ?? sollte den Weiterverkauf weitergeben Punkt also soll gelten – eine Zahl – mal eine Summe von Vektoren – soll immer dasselbe sein wie die zahmer den ersten Vektor plus die Zahl meinen zweiten Vektor – das soll immer gelten – sonst wäre – diese Modifikation – mit Zahlen oder die Vektoraddition – schräg das würden wenn ich als Addition nicht als Modifikation – versteht – man wirkliche Malen mal Zeichen dazwischen – mit etwas deutlicher wird nur – nach ?? schreibt natürlich zwei – X oder was auch immer ohne mal Zeichen aber ich Machenummer ausdrücklich Mahlzeiten dazwischen – so möchte ich ausmultiplizieren – können – Punkt kommt der Witz – es gibt eine andere Art – bei – den Vektoren und den Zahlen aus zu modifizieren das Gips gab's eben nicht – bei den normal Zahlenwerte – haben eins plus zwei mal drei – zu eins bis zwei mal drei Genesis einmal drei plus zwei mal drei – die sonder jetzt anders aus modifiziert – bei den Vektoren – gibt zwei Arten zwei Situation soll ich sagen zwei Situationen die man aus modifizieren kann was für eine Situation ganz nachgeben ✂ so weil er gemischt wird Zahlen und Vektoren anders als bei reinen Zahlen beigemischt – wird gibt zwei Situation – hier sehen Sie das eine Zahl ausgeklammert wird zahmer vektorzahmer – Vektor ich klammere die Zahl aus die bei beiden gleich ist es natürlich umgekehrt sein das die gleichen Vektor haben könnte den gleichen Vektor ausklammern – sowas haben A plus eine so A mal einen Vektor – groß B mal denselben Vektor – selber Vektor – leicht andere Zeit und was er bezahlt mit einer Vektor – in dieser Situation können Sie den Vektor ausklammern – A plus B – mal den Vektor das hundert ?? gefälligst auch gehen – wenn ich eine Summe habe – fünf plus acht mal einen Vektor der mächtig Gefäß rechnen können fünfmal in Vektor und danach bei den Vektor – das muss offensichtlich funktioniert mit fein mit Einkäufen wie auch immer das wer's ganz schräg – da muss ich hier sinnvollerweise – dann der vorschreiben – für jede – Zahl – heißer Gedanken – hat jede Kabine für alle Zahlen – für alle Zahlen – AB – oder zwei Zahlen – und jeden Vektor V – des – Vektorraums – Patienten – des Vektorraums – gilt dieses hier – gibt zwei Arten auszuklammern – oder zusammenzufassen – das muss funktionieren egal wo man ist den Vektoren – des Feindeseinkäufen – sind es Rechenvorschriften – ich würde sie auf jede dieser beiden Arten ausklammern kann – ist das kein Vektorraum und das ganze Vektoren Wasser drin – können – Vektoren ausklammern das wir das erste hier – oder sie können Zahlen ausklammern – Punkt – es gibt so einen wesentlichen Zusammenhang das wäre mir echtes wichtigste hier ein westliche Zusammenhang – eine wichtige Zahl mit der ich modifizieren ✂ kann mit welchen wichtigen Zahlen können Sie multiplizieren – einmal – irgendwas – soll gefälligst – nichts tun für jeden Vektor soll gelten – nach hundert Anwesen – für jeden – Vektor – V aus dem Vektorraum – gilt das einmal – diesen Vektor der Vektor selbst ist – ?? Office ausgeglichen Punkt dazwischen – bleibt dann später nicht mehr tun – als könnten sie sagen aber so viel raffinierter wenn ich sage nur mal der Vektor ist gleich der Nullvektor – Position links die Zahl null rechts der Nullvektor – andere Geschichte wenn sie ein Fall zum Beispiel in Indien ein Fall mal null – kriegen sie den Notfall raus keine Zahl null null fallen lassen zwei verschiedene Sachen ?? links die nullste Zahl rechts die null ist ein Wechsel der Nullvektor – können seine das ?? eigentlich fundamentaler – Normalenvektor – ist der Nullvektor – seine fundamentaler – Irrwitz ist das Volk gleich dieses hier unten folgt gleich aus den anderen das muss man gar nicht fordern – und wenn ich sage dass es einfach – eines Vektortor – selbst S habe ich auch gleich die Skala – nun mal der Vektor könnte heißen – Inger Vielfaches davon passt nicht zu lang oder zu kurze – bin ich sicher das einfache ist der Vektor selbst – einmal der Vektorselektor ist etwas mächtiger als – Nummer der Vektor ist der Nullvektor Mann nimmt das hier einmal der Vektor ist gleich der Vektor selbst egal welcher Vektor – das war das verlangt man ?? – und dann verlangt man noch – assoziative – Tabs aber auf eine komische Art weil es wieder zwei Rechenoperationen – durcheinander gehen – ich verlange wenn ich eine Zahl mit einer Zahl multiplizieren – und das mit einem Vektor multiplizieren – das dann was rauskommt was muss ✂ identisch sein – genau haarsträubend – banal anscheinend – aber die Klammern umstellen A mal B mal V – das muss gelten für alle Zahlenzahlenpaar – B und – alle Vektoren – jeden Vektor wie auch immer alle Vektoren – V – des Vektorraums Wasser nicht mehr hinten – eines Vektorraums – gilt – dieses hier – des vermisse genau hingucken weil sie zu bisschen Gründen mäßig aus – ist das nicht banal – sind nicht ganz banal – dieses Mal Zeichen hier – und das Malzeichen – was ist der Unterschied zwischen dem blauen ✂ und roten mal Zeichen – so als sie das rote ich Konzentration – das rote hier ist die Multiplikation – oder das Produkt – ein gutes mal – Operation Aussage das es die Multiplikation – ?? Multiplikation – zweier Zahlen – kennen seit Jahren – eine Zahl mal eine andere Zahl der Kompass raus in der Klammer – fünf Zimmer zwoundvierzig – oder was auch immer sie modifizieren zwei Zahlen ganz normal – dieser – blaue hier das ist aber die Multiplikationszahl – mal Vektor – beschreibt man nur zahmer Vektor – das es was neues – was ungewöhnliches ✂ was ist dieser hier – welche Sorte das erste Mal Zeichen auf der rechten Seite – so also auch das hier ist Zahl mal Vektor ich vermeide hinten an das es einfacher – B mal V ist Zahl mal Vektor des auch von dieser Sorte der blauen Sorte sozusagen – B mal V zahmer Vektor die kriegen aus der Klammer hinten einen Vektor raus – ein Vielfaches eines Vektor ist wieder ein Vektor – und jeder Zahl Malklammervektor – also der vordere hier ist auch einer von der blauen Sorte zahmer Vektor – wenn sie das Ganze nicht mehr so banal aus auf der linken Seite stehen zwei verschiedene Rechenoperationen – zwei Zahl modifizieren zahmer Vektor modifizieren auf der rechten Seite steht zweimal – dieselbe Art ein Rechenoperationen – es ist nicht ganz so banal – Personals – gemischte assoziative täte man verlangt – wenn dass sie nicht gelten würde – wäre offensichtlich das Zusammenspiel – zwischen der Modifikation von Zahlen der Modifikation von Vektoren gestört das man nicht haben wollen – ?? total überraschend – die haben auch noch alle Namen – den ersten ?? Fragezeichen – die Zahl eins ist sozusagen das Einselement – bei der Multiplikation – diese beiden ?? lohnt es sich den Namen zu schreiben – Punkt das sind – Distributivgesetz – wenn man so will das erste Distributivgesetz – und das zweite wird wie rum sie auch immer – wieder – gemischte Distributivgesetz – wie rum sie auch immer die Zeichen erstes zweites Distributivgesetz – wenn ich das mal ausklammern – ist das Distributivgesetz – das ausklammern darf und noch ein Distributivgesetz – und – hier unten – haben wir nach einer Art – Assoziativgesetz – ich nenn das mal gemischte assoziative – tät – Weile sehr verschiedenartige Rechenoperationen – sind – oder verschiedenartige Dinge sind – assoziative tät ?? um Klammer zu tun – aber es ist mit am Körnchen Salz wenn sie an ihn denken bei der Vektoradditionsmunitionsadditionsaddition – da bei der Vektoraddition – das waren drei Sachen von derselben Art und dazwischen stand dieselbe Rechenoperationen – Plus von Vektoren – das ist echte assoziative tät – hier Auslassungen – war – ich so ganz sauber – dass er verschiedene Rechenoperationen – sind verschiedene Arten von Dingen gemischte assoziative – tät – das verlangt man – dass sie sogar noch gelten und damit hat man – acht – acht lägen insgesamt – diese Regeln hier oben für die Addition – vier Stück – und hier noch mal vier Regeln in denen die Multiplikation – mit Zahlen vor Punkt – und all das nennt man jetzt zusammen – und sagt was in der Mathematik ein Weg sein soll – ?? ganz zu Beginn heute gesagt – das es auch kleine Studienabstraktionen – stellen sich vor – sie haben das das Porträt der Mona Lisa – Komma – ähm – was die Mathematik daraus macht ist mir damit ein Strichgesicht – das ist die Idee von Abstraktion in der Mathematik – Milliarden von Menschen ob dieser oder sonst wer die Mathematik macht – Beistrich die sich daraus das Abstraktion – und das sind jetzt hier bei dem Begriff Vektorraum – genauso – wie abstrahieren – von der Idee – der Feile – vom Konzept der Feile von Titeln – von Einkäufen – was auch immer man nimmt all das raus und zeichnet sozusagen nur noch ein Strichgesicht – was ist das entscheidende was die alle gemeinsam haben zwei Augen eine Nase ein Mund und kreist um das haben die sozusagen deshalb die Menschen Gesichter gemeinsam – und bei – diesen Objekten mir was haben die alle gemeinsam – diese Regeln hier – diese ersten vier Regeln – und – diese – weiteren vier Regeln – das ist die mathematische – Idee dann von Vektoren beziehungsweise – vom – Vektorraum – das ist ein Vektorraum – ich hatte sie sich ganz streng Komma denn sie könne Wikipedia nachgucken wie streng formal aussieht das bisschen abschreckend – Vektorraum ist eine Menge von Vektoren – wobei man noch gar nicht die Sache was er denn jetzt eigentlich Vektoren ich jetzt immer nur in Anführungszeichen was sind eigentlich von Vektoren – was in Vektoren – Sachen – die die acht Regeln erfüllen die wir eben zusammengestellt – haben – sollte so schreiben von Vektoren also – Objekten – die – acht Regeln von oben erfüllen – das könnte man jetzt alles wunderschön hinschreiben ?? Konzertkonzept – an – das Kreuz – was mathematische Definition ähm wenn man das bisschen Ausschnitt zu bisschen komplizierter hin schreibt und so weiter – dann weiß man was ein Vektorraum – im Sinne der Mathematik ist offensichtlich – ist also – die Menge der Pfeile in der Ebene – ein Vektorraum muss ein bisschen tricksen Männer müsste diesen Fall hier – dem Fall müsste man behaupten dass es derselbe Fall wie der – ?? sind eigentlich die Pfeile dann die Vektoren sondern solche Mängel parallel verschobenen Fall sind eigentlich die Vektoren und wird es nicht übertreiben – daraus kann man einen Vektorraum machen – hieraus kann man einen Vektorraum machen aus den Trieben in geordneten Triebe – aus den Rechenvorschriften kann man ein machen aus den Einkäufen kann man einen machen – so wie sie Menschen Gesicht als Strich Gesicht zeichnen können sozusagen so können Sie aus all diesen Sachen jetzt hier sagen – das sind Vektorräume – in diesem Sinne sind Rechtsvorschriften – Vektoren Einkäufe – sind Vektoren solche Triebe sind Vektoren – viele sehr komische Sachen sind in diesem Sinne Vektoren – man kann sie addieren – sich Direktor Hausmann ganze Zahl modifizieren – Vektor raus und es gelten – diese acht Eigenschaften über zusammengestellt – haben – das die mathematische Idee eines Vektor – nun jetzt ausgeht von diesen – Eigenschaften – nur noch einer von Strichmännchen sozusagen ausgeht – egal was man jetzt herleitet – auf Basis dieser Eigenschaften – das muss dann für jeden Vektorraum geltendes ist eine sehr effiziente Art vorzugehen – alles was über Vektorräume lernen – auf Basis dieser Eigenschaften muss groß in all diesen vier Situationen gelten noch in vielmehr Situation – gelten – so fusionierten die Mathematik – die man setzt sich hin – denkt über Vektorräume nach – und alles was sie ?? heraus kriecht – über Vektorräume gilt für alle diese Situationen – das sind alles Vektorräume – des Effizienz – dann muss noch einmal nachdenken kann das auf tausend Arten – anwenden – sollte noch sagen wie das – dann heißt – dieses Fachgebiet was ich damit beschäftigt – das ist die lineare Algebra – Beistrich wundern am Buch egal was soll das bedeuten lineare Algebra – müssen sie jetzt – lineare Algebra – ist nichts anders als die Lehre von den Vektorräumen – Punkt sich an das man aus diesen Eigenschaften registrieren – kann – zu jedem Vektor gibt es ein – additiv – inverses es gibt einen Nullvektor und so weiter und so weiter was kann man allein aus diesen Eigenschaften herleiten – das ist das womit sich lineare Algebra – befasst sind Buch regalmeterweise – solche Bilder das finden Sie in diesen Büchern – das Studium von Vektorräumen – damit das nicht so durcheinander geht sollte sicherheitshalber noch anmerken Algebra – Algebra ist – etwas allgemeiner in nicht lineare Algebra sondern einfach allgemein Algebra – Algebra ist die Lehre von den Rechenoperationen – insbesondere von den Grundrechenarten – Plusminusmage – teilt – die Kammer mit denen – schlimme Sachen anstellen – und wie kann man die abstrahieren – wie Lineal weiß im Sinne was spezielleres und was anderes – beschäftigen uns mit – besonderen Rechenoperationen – nämlich dem Agieren von Vektoren und die modifizieren von Vektoren bezahlen – Lineal – sie Anis wenn Sie einen Vektor zu einem Vektor addieren – oder mit den feilen sie doch irgendwie liegen ja aus wie Linien aus – es geht um lineare Gebilde geraden – Ebenen – das sorgt dann für diesen Namen lineare Algebra beziehungsweise – Genialität – sage das jetzt ist das das jetzt mal ganz dreist – am Lineal an Genialität ist besondere Eigenschaft dann von Abbildungen – wenn ich aus Rechner – ein Vielfaches – eines Vektor aus plus ein Vielfaches eines anderen Rektors und davon eine Funktionen hätte ich gerne das Vielfache – von dem ersten Ergebnis rauskommt und das Vielfache von der zweiten Ergebnis der drauf addiert wird das nennt sich dann Linearität – haben so eine – Abbildung heißt dann im Jahr – Fußnote – unser Begriff den ja dann tatsächlich – ein tiefe mathematische Bedeutung noch es geht nicht nur um geraden und Ebenen sondern Genialität ist wirklich eine mathematische Eigenschaft – okay also bald irgendwas – im Raum – berechnet wird oder in der Ebene berechnet oder geschrieben wird sind sie bei der linearen Algebra – wenn es das sehen sie nachher zwei Semester mit Überraschung ?? zum – gleichen System ergeht – sich auch bei der linearen Algebra – und was die Verteilungen – Kinder Überraschung sehen – wenn's um Rechenvorschriften – geht – Funktionen – Signale – registriert sich auch um den Jahre Algebra die werden auch addiert und mit Zahlen modifiziert – und ?? ein bisschen mehr – all das wird von der linearen Algebra gedeckt ✂ Algebra etwas anders was fundamentales – ich sollte abschließend noch sagen was nicht eingebaut ist in so einem Vektorraum – Standardausstattung – für Vektoren ist das man sie addieren kann Vektor plus Vektor ist ein Vektor und dass man sie mit Zahlen modifizieren kann Zahl mal Vektor ist gleich Vektor – was nicht Standardausstattung – ist ist folgendes – also – was nicht jeder Vektorraum können muss – ich hoffentlich dann so hin nicht jeder Vektorraum – nicht jeder Vektorraum – kann dies – das wird nicht verlangt – verlangte sie Vektoren addieren kann und dass sie Vektor mit Sammelbüchsen – kann mit den üblichen Regeln – am ✂ Wasser Beispiel was kann ich dir Vektorraum – noch sowas zwei Vektoren durcheinander dividieren ist im allgemeinen keine gute Idee – das probieren Sie bitte nicht im allgemeinen es geht in einigen Vektorräumen – aber – eher selten bitte nicht dividieren das es nicht eingebaut – was Sie tun können ist durch Zahlen teilen – teilen – sie den Vektor A durch ✂ die Zahl – zwei ?? – oder Samuel Bully kriegen wenn es irgend einen Sinn ergibt dann wohl einst ein vierzigste mal Artenzahl – ein zwei vierzigstem einen Vektor das kriegen sie – sie können immer Vektoren – durch Zahlen teilen sich nicht durch null teilen ?? – üblich – aber immer Vektoren bezahlt ?? das haut immerhin – modifizieren was nicht immer – oder was er selten geht ist ?? Vektoren durch Vektorteil – Vorsicht an der Stelle das tun sofort war nicht an den Halt – dürfen nur das – das ist nicht eingebaut in den Vektorraum – gibt es als Extra Ausstattung bei einigen aber nicht bei allen bearbeiten ✂ ?? – was geht sonst noch nicht mit Vektoren – ?? Produkte die erst morgen kommen sollen – Vektor mal Vektor – da könnte vielleicht – ein Vektor rauskommen das wäre so wie üblich – ich mach mal – ein Kriterium das mal – bei – was für mal sollte das ein oder einem – Produktvektor – mal Vektor ich habe Kringel drum zu sagen Beistrich so genau was es schon mal sein soll ist gleich eine Zahl – sehen wir morgen ?? es gibt Vektorräume die das können – aber auch das verwalten nicht alle also vorsichtig an der Stelle wenn sie Vektor miteinander modifiziert – nur mit Genehmigung würde – ?? das ist nicht Teil der Definition eines Vektorraums – die üblichen Vektoren – die man so benutzt – werden sie sehen ?? das kann dann schon irgendwie – mit Knirschen aber es klappt schon irgendwie – aber nicht wirklich gut und im allgemeinen geht es nicht ?? können nicht drauf – rechnen dass sie Vektoren – mit Vektor modifizieren können – Vektor rauskriegen und eine zahlungskräftigen – Sonderausstattung – einiger Vektorräume Komma morgen zu – also vorsichtig dabei – das aus als Fußnote – zum Vektorraum – kann viel aber nicht allzu viel diese Geschichten hier – später – nämlich morgen