1252 2352 Gleichungen 2352 2472 die 2472 2652 man 2652 2852 dann 2852 2912 in 2912 3012 der 3012 3452 speziellen 3452 4552 Relativitätstheorie 4552 4832 hin 4832 5932 schreibt 5932 6092 und 6092 6272 erst 6272 6572 recht 6572 6652 in 6652 6772 der 6772 7192 allgemeinen 7192 8272 Relativitätstheorie 8272 8412 die 8412 8732 sehen 8732 8872 auf 8872 9012 den 9012 9392 ersten 9392 10092 Blick 10092 10872 ungewöhnlich 10872 11212 aus 11212 11352 für 11352 11512 das 11512 11992 ungeübte 11992 12472 Auge 12472 12672 das 12672 12832 ist 12832 13472 zum Beispiel 13472 13552 die 13552 14252 Gleichung 14252 14512 für 14512 14632 die 14632 15352 Bewegung 15352 15612 eines 15612 16112 geladenen 16112 16692 Teilchens 16692 16792 in 16792 17012 eine 17012 18172 Welt 18172 18332 ich 18332 18732 möchten 18732 19112 Anfang 19112 19272 zu 19272 20172 erklären 20172 20472 was 20472 20672 das 20672 20832 denn 20832 21152 hier 21152 21352 mit 21352 21472 den 21472 21972 griechischen 21972 22672 Buchstaben 22672 22912 auf 22912 23132 sich 23132 23792 hat 23792 23912 ?? 23912 24532 teilweise 24532 24812 oben 24812 24992 und 24992 25352 unten 25352 26652 erscheinen 26652 26732 ?? 26732 26892 es 26892 27112 geht 27112 27252 um 27252 27532 Pro 27532 27752 und 27752 29692 Kontravarianz 29692 29912 und 29912 30032 es 30032 30292 geht 30292 30752 um 30752 32672 Sensoren 32672 33772 diese 33772 34492 Variablen 34492 34672 mit 34672 35272 Indices 35272 35552 hier 35552 35732 sind 35732 36492 Komponenten 36492 36772 von 36772 37672 Zensoren 37672 37852 und 37852 37992 auch 37992 38252 das 38252 38652 X 38652 38792 und 38792 38992 das 38992 39472 P 39472 39672 und 39672 39992 sogar 39992 40352 nackte 40352 41172 Zahlen 41172 41492 sind 41492 41812 daher 41812 42112 auch 42112 42672 einfach 42672 43352 Zensoren 43352 44152 Spezialfälle 44152 44392 von 44392 46072 Zensoren 46072 46232 ich 46232 46732 vielleicht 46732 47072 erklären 47072 47192 wo 47192 47392 diese 47392 47732 Gleichung 47732 48272 tatsächlich 48272 49152 herkommt 49152 49572 sonders 49572 49752 man 49752 49912 nur 49912 50752 klarmachen 50752 50932 wie 50932 51072 sie 51072 51252 den 51252 51432 zu 51432 51872 lesen 51872 52412 ist 52412 52612 was 52612 53192 für 53192 53872 Größen 53872 54292 darin 54292 55652 stehen 55652 55812 von 55812 55892 der 55892 56232 Physik 56232 56592 ergeht 56592 56812 es 56812 57492 offensichtlich 57492 57852 um 57852 58992 Impuls 58992 59192 um 59192 60532 Ladung 60532 62952 Feldstärke 62952 63792 elektrische 63792 63912 und 63912 64752 magnetische 64752 65852 Feldstärke 65852 66372 und 66372 66592 um 66592 66772 den 66772 67872 Ort 67872 68032 in 68032 68712 Abhängigkeit 68712 68892 von 68892 69032 der 69032 69912 Eigenzeit 69912 71712 Tauwasser 71712 72032 dieses 72032 72312 ganze 72312 72712 Grave 72712 72972 mit 72972 73652 Indices 73652 74092 oben 74092 74292 und 74292 74872 unten 74872 75092 zu 75092 75792 bedeuten 75792 76072 dann 76072 76332 soll's 76332 78312 gehen 78312 78492 was 78492 78672 man 78672 78812 am 78812 79132 Anfang 79132 79252 bei 79252 79352 der 79352 80072 Vektorgeometrie 80072 80432 nicht 80432 80812 merkt 80812 81092 ist 81092 81212 das 81212 81312 es 81312 81732 zwei 81732 82252 Sorten 82252 82372 an 82372 82992 Vektoren 82992 84552 gibt 84552 84852 einmal 84852 84992 die 84992 85592 üblichen 85592 85692 die 85692 85852 wir 85852 87032 kennen 87032 87232 das 87232 88252 sind 88252 88372 in 88372 88472 der 88472 88852 einfachen 88852 90052 Vektorgeometrie 90052 90472 diese 90472 91952 Spaltenvektoren 91952 92292 sowas 92292 92832 hier 92832 93112 vier 93112 93312 fünf 93312 93632 sechs 93632 93792 als 93792 94212 Spalte 94212 94452 X 94452 94812 Y 94812 96112 Z 96112 96352 aber 96352 96472 es 96472 96672 gibt 96672 97132 genauso 97132 97292 auch 97292 99252 Zeilenvektoren 99252 99512 sagen 99512 99692 wir 99692 99932 eins 99932 100252 zwei 100252 101472 drei 101472 101652 ich 101652 101972 schreiben 101972 102512 Semikolon 102512 103072 dazwischen 103072 103752 klarzumachen 103752 103932 dass 103932 104032 es 104032 104172 sich 104172 104412 hundert 104412 104592 und 104592 104992 zwanzig 104992 105872 ist 105872 106192 und 106192 107112 Zeilenvektoren 107112 107232 und 107232 108512 Spaltenvektoren 108512 109052 spielen 109052 109812 zusammen 109812 109992 ich 109992 110232 kann 110232 110432 das 110432 110592 was 110592 110892 hier 110892 111672 steht 111672 112252 Lesen 112252 112432 als 112432 113992 Multiplikation 113992 114292 einer 114292 114972 Matrix 114972 115192 mit 115192 115532 einer 115532 116012 Zeile 116012 116192 und 116192 116452 drei 116452 117692 Spalten 117692 117932 mit 117932 118752 einem 118752 120052 Vektor 120052 120252 oder 120252 120352 wie 120352 120532 man 120532 121232 will 121232 121452 noch 121452 121692 einer 121692 122412 Matrix 122412 122732 nämlich 122732 123132 mit 123132 123472 einer 123472 123892 Spalte 123892 124032 und 124032 124212 drei 124212 125432 Zeilen 125432 125632 und 125632 125732 ?? 125732 125952 diese 125952 126652 Modifikation 126652 127292 ausführe 127292 127512 kriege 127512 127632 ich 127632 127952 eine 127952 128292 reine 128292 128692 Zahl 128692 129792 raus 129792 130232 einmal 130232 131332 vier 131332 131872 plus 131872 132212 zwei 132212 132412 mal 132412 133432 fünf 133432 134012 plus 134012 134192 drei 134192 134412 hundert 134412 135612 sechs 135612 135732 ?? 135732 136792 sagen 136792 139642 zweiunddreißig 139682 139922 die 139922 141642 Zeilenvektoren 141642 141922 können 141922 142302 also 142302 142542 auf 142542 142782 die 142782 144322 Spaltenvektoren 144322 145102 wirken 145102 145962 sozusagen 145962 146102 und 146102 146842 produzieren 146842 147222 dabei 147222 148342 Zahlen 148342 148662 das 148662 148802 ist 148802 149002 eine 149002 149382 wichtige 149382 150682 Beobachtung 150682 150962 das 150962 151262 macht 151262 151442 man 151442 152942 abstrakter 152942 153162 und 153162 153442 kommt 153442 153942 dabei 153942 154182 auf 154182 154342 den 154342 155122 Begriff 155122 155962 kovariant 155962 156482 der 156482 157182 Zeilenvektor 157182 157362 wird 157362 157642 sowas 157642 157942 werden 157942 158062 wir 158062 158162 in 158162 158742 kovariant 158742 158822 der 158822 159422 Vektor 159422 159682 und 159682 160782 kontravariant 160782 160902 der 160902 161602 Spaltenvektor 161602 161782 wird 161782 161982 was 161982 162302 werden 162302 162422 wir 162422 162562 ein 162562 163402 kontravariant 163402 164242 Vektor 164242 164362 die 164362 164822 übliche 164822 165482 Sorte 165482 165662 das 165662 165822 sind 165822 165982 die 165982 167162 Spaltenvektoren 167162 167262 die 167262 168542 Kontravarianten 168542 168742 aber 168742 168842 die 168842 169242 haben 169242 169502 eben 169502 170122 noch 170122 171162 Partner 171162 171322 die 171322 173022 Kuhvarianten 173022 173182 und 173182 173302 ich 173302 173442 ?? 173442 173562 noch 173562 174022 anmerken 174022 174182 was 174182 174342 hier 174342 174762 passiert 174762 175162 ist 175162 175682 kein 175682 176882 Skalarprodukt 176882 177082 ich 177082 177302 habe 177302 177622 nicht 177622 178702 geschrieben 178702 179082 eins 179082 179502 zwei 179502 180522 drei 180522 181862 Skalarprodukt 181862 182342 vier 182342 182862 fünf 182862 183602 sechs 183602 183882 das 183882 184022 ist 184022 184202 eine 184202 184462 andere 184462 185862 Geschichte 185862 186062 ihr 186062 187002 steht 187002 187222 ein 187222 188662 Zeilenvektor 188662 188842 will 188842 189242 sagen 189242 189402 eine 189402 190162 Matrix 190162 190382 mit 190382 190662 einer 190662 191502 Zeile 191502 191742 und 191742 192222 soundsoviel 192222 193102 Spalten 193102 193502 mal 193502 193722 ein 193722 195502 Spaltenvektor 195502 195662 hier 195662 195902 werden 195902 196222 zwei 196222 196802 verschiedene 196802 197122 Sachen 197122 197622 miteinander 197622 198702 multipliziert 198702 198842 am 198842 199642 Skalarprodukt 199642 199802 hab 199802 199882 ich 199882 200162 zwei 200162 200722 Vektoren 200722 201342 desselben 201342 202382 Typs 202382 202562 da 202562 202842 komme 202842 203162 später 203162 204782 Klammer zu 204782 204942 das 204942 205062 ist 205062 205162 dann 205162 205282 der 205282 205602 Begriff 205602 205762 der 205762 207842 Metrik 207842 208042 also 208042 208302 diese 208302 208702 beiden 208702 208942 nicht 208942 209562 durcheinander 209562 210582 werfen 210582 211082 aktuell 211082 211322 kommt 211322 211742 dasselbe 211742 212042 dabei 212042 213382 raus 213382 213662 aber 213662 213842 das 213842 214002 wird 214002 214162 nicht 214162 214262 so 214262 214742 bleiben 216331 217091 das 217091 217331 ganze 217331 217731 absacken 217731 218711 betrachtet 218711 218891 ein 218891 219311 reeller 219311 220771 Vektorraum 220771 221171 Dresden 221171 221811 typischerweise 221811 223111 V 223111 223271 D 223271 223531 guck 223531 223651 ich 223651 223811 mir 223811 223991 an 223991 224411 irgend 224411 224651 einen 224651 225051 reellen 225051 227151 Vektorraum 227151 227651 darin 227651 228031 zwei 228031 229251 Vektoren 229251 229371 ich 229371 229731 schreib 229731 229951 mal 229951 230371 keine 230371 230731 Fall 230731 230951 über 230951 231031 die 231031 231731 Sektoren 231731 232151 Beistrich 232151 232751 mathematisch 232751 232991 wird 232991 233231 das 233231 233331 sie 233331 233631 gleich 233631 233791 mit 233791 234131 fallen 234131 234391 höchst 234391 234811 komisch 234811 236191 aus 236191 236371 eine 236371 236891 Mathematik 236891 237171 schreibt 237171 237291 man 237291 237371 die 237371 238031 Vektoren 238031 238371 ohne 238371 238731 kleine 238731 239431 Pfeile 239431 239651 über 239651 239771 den 239771 241791 Buchstaben 241791 241931 ein 241931 242351 reeller 242351 243051 Vektorraum 243051 243751 das heißt 243751 243871 ich 243871 244091 kann 244091 244611 jeden 244611 245751 Vektor 245751 245971 mit 245971 246151 einer 246151 246531 reellen 246531 246971 Zahl 246971 247131 eine 247131 247711 beliebigen 247711 248071 reellen 248071 248491 Zahlen 248491 250451 multiplizieren 250451 251131 zum Beispiel 251131 251351 kann 251351 251451 ich 251451 251591 den 251591 251891 Vektor 251891 252331 A 252331 253771 verdoppeln 253771 254031 das 254031 254431 sie 254431 254791 zwei 254791 256351 Jahr 256351 257591 und 257591 257791 ich 257791 258111 kann 258111 258431 zwei 258431 258911 beliebige 258911 259431 Vektoren 259431 261011 addieren 261011 261171 A 261171 261351 und 261351 262851 B 262851 263071 hier 263071 263271 wird 263271 263371 die 263371 263631 Summe 263631 264051 liegen 264051 264531 Abschluss 264531 266231 B 266231 266491 diese 266491 266791 beiden 266791 267491 Operation 267491 267651 das 267651 268331 Multiplizieren 268331 268431 mit 268431 268871 reellen 268871 269551 Zahlen 269551 269731 und 269731 270211 die 270211 271111 Addition 271111 271351 von 271351 272511 Vektoren 272511 272651 die 272651 272871 sind 272871 273651 eingebaut 273651 273771 in 273771 274011 diesem 274011 274391 Begriff 274391 274731 reeller 274731 275471 Vektorraum 275471 275711 das 275711 275911 muss 275911 276331 gehen 276331 276411 in 276411 276691 jedem 276691 277231 Fall 277231 277471 und 277471 277591 es 277591 277811 müssen 277811 277931 die 277931 278271 üblichen 278271 278931 Rechengesetze 278931 279911 gelten 279911 280071 dass 280071 280131 die 280131 280691 Reihenfolge 280691 280791 der 280791 281231 Addition 281231 281631 egal 281631 281891 ist 281891 282051 das 282051 282131 ich 282131 282571 Produkte 282571 283111 ausklammern 283111 283351 kann 283351 283771 zwei 283771 284191 mal 284191 284351 A 284351 284651 plus 284651 285391 PS zwei 285391 285671 ab 285671 286591 zwei 286591 287791 und so weiter 287791 287991 das 287991 288251 macht 288251 288371 den 288371 288711 Begriff 288711 289271 Vektorraum 289271 290051 aus 290051 290271 das 290271 290491 soll 290491 290791 meine 290791 291491 normalen 291491 292111 Vektoren 292111 293151 sein 293151 293311 die 293311 293631 haben 293631 293731 die 293731 294291 Rolle 294291 294411 die 294411 294751 bisher 294751 294911 die 294911 295911 Spaltenvektoren 295911 297071 hatten 297071 297251 und 297251 297771 zu 297771 298071 diesen 298071 298571 normalen 298571 299131 Vektoren 299131 299351 gibt 299351 299511 es 299511 301151 Partner 301151 301391 diese 301391 301771 Partner 301771 302171 heißen 302171 303411 Covektoren 303411 303651 und 303651 303751 die 303751 304191 bilden 304191 304411 den 304411 304771 dazu 304771 305511 dualen 305511 306251 Vektorraum 308185 308885 das 308885 309045 ist 309045 309285 also 309285 309405 die 309405 309705 Menge 309705 309845 der 309845 310425 sogenannten 310425 312925 Korrekturen 312925 314505 Korrekturen 314505 314805 sind 314805 315125 nichts 315125 315485 anderes 315485 315705 als 315705 316945 Linearform 316945 317145 noch 317145 317245 ein 317245 317525 neues 317525 318605 Wort 318605 318885 was 318885 318965 in 318965 320205 Linearformen 320205 320965 Linearform 320965 321165 sind 321165 321685 lineare 321685 322385 Abbildungen 322385 322945 vom 322945 323585 ursprünglichen 323585 324185 Vektorraum 324185 324445 nach 324445 324605 den 324605 325435 Wellenzahlen 327059 327259 drei 327259 327639 Begriffe 327639 327839 für 327839 328499 dasselbe 328499 329379 Korrekturen 329379 329519 in 329519 329719 der 329719 330119 Form 330119 330559 linearer 330559 331459 Abbildungen 331459 331839 vom 331839 332399 ursprünglichen 332399 333559 Vektorraum 333559 333779 nach 333779 333939 dem 333939 334039 ?? 334039 335239 einzahlen 335239 335499 und 335499 335739 alle 335739 336679 zugegebenermaßen 336679 336999 ziemlich 336999 338599 abstrakt 338599 338739 ich 338739 339079 zeige 339079 339519 mal 339519 339619 wie 339619 339839 man 339839 340079 sich 340079 340379 diese 340379 341299 Korrekturen 341299 342159 vorstellen 342159 342399 kann 342399 342959 grafisch 342959 343619 vorstellen 343619 345039 kann 345039 345579 lineare 345579 346659 Abbildungen 346659 347039 vom 347039 347739 ursprünglichen 347739 348379 Vektorraum 348379 348579 nach 348579 348719 den 348719 349059 reellen 349059 349999 Zahlen 349999 350199 das 350199 350399 sind 350399 350799 sowas 350799 351639 wie 351639 352059 schiefe 352059 354199 Ebenen 354199 354559 Mama 354559 354719 den 354719 355099 Ursprung 355099 356599 ein 356599 356759 wie 356759 356919 kann 356919 357019 ich 357019 357339 schiefe 357339 357719 Ebenen 357719 358879 darstellen 358879 359099 mit 359099 359799 Höhenlinien 359799 360119 durch 360119 361399 das 361399 361699 hier 361699 361979 soll 361979 362299 meine 362299 362799 Funktion 362799 362879 die 362879 363159 ganze 363159 363439 Zeit 363439 363699 nur 363699 364039 sein 364039 364479 entlang 364479 364739 dieser 364739 365839 Linie 365839 366139 entlang 366139 366399 dieser 366399 366659 Linie 366659 366879 soll 366879 366999 sie 366999 367399 eins 367399 368159 seien 368159 368459 entlang 368459 368739 dieser 368739 368999 Linie 368999 369239 soll 369239 369359 sie 369359 369799 zwei 369799 370199 sein 370199 370619 entlang 370619 370899 dieser 370899 371499 Linie 371499 371739 soll 371739 371859 sie 371859 372199 drei 372199 372919 sein 372919 373279 wird 373279 373399 sie 373399 373539 wohl 373539 374159 offensichtlich 374159 374459 entlang 374459 374739 dieser 374739 375019 Linie 375019 375739 sinnvollerweise 375739 376179 minus 376179 376459 eins 376459 376699 sein 376699 377019 sollen 377019 377839 und so weiter 377839 378459 anderthalb 378459 378659 ist 378659 378779 sie 378779 379339 hier 379339 379979 die 379979 380219 sie 380219 381259 da 381259 381439 die 381439 383279 Höhenlinien 383279 383499 einer 383499 383899 schiefen 383899 384979 Ebene 384979 385439 steigt 385439 385659 also 385659 385939 hier 385939 386779 an 386779 387719 nach 387719 388119 rechts 388119 389079 oben 389079 389279 und 389279 389399 sie 389399 389799 fällt 389799 389959 hier 389959 390219 ab 390219 390399 nach 390399 390639 links 390639 391879 unten 391879 392399 das 392399 392579 nenn 392579 392739 ich 392739 392979 einen 392979 393699 Korrektor 393699 394019 diese 394019 394739 Funktionen 394739 394879 nicht 394879 394999 ein 394999 395879 korrekter 395879 396059 ?? 396059 397439 PC 397439 397639 diese 397639 398299 Korrekturen 398299 398639 sollen 398639 398859 auch 398859 399079 wieder 399079 399259 ein 399259 400199 Vektorraumbild 400199 400619 das heißt 400619 400759 ich 400759 400899 muss 400899 400979 sie 400979 401119 mit 401119 401499 reellen 401499 401919 Zahlen 401919 402559 modifizieren 402559 402799 können 402799 402919 und 402919 403019 ich 403019 403159 muss 403159 403259 sie 403259 403739 addieren 403739 404139 können 404139 404319 das 404319 404579 gucken 404579 404779 uns 404779 405539 an 405539 405819 was 405819 405939 ist 405939 406239 das 406239 407039 doppelte 407039 407279 von 407279 407499 diesem 407499 408299 Covektor 408299 408719 namens 408719 409659 C 409659 409799 ich 409799 409959 nehme 409959 410279 natürlich 410279 410659 einfach 410659 411119 überall 411119 411619 die 411619 412039 doppelte 412039 412919 Höhe 412919 413219 Punkt 413219 413539 hier 413539 413699 der 413699 414259 Korrektor 414259 414539 C 414539 414899 gleich 414899 415299 eins 415299 415719 ist 415719 416159 sage 416159 417179 ich 417179 417319 an 417319 417819 denselben 417819 418279 Stellen 418279 418639 ist 418639 419159 zwei 419159 419799 C 419799 420379 natürlich 420379 421119 jetzt 421119 422339 zwei 422339 422499 wo 422499 422719 mein 422719 423239 Original 423239 423499 null 423499 424479 war 424479 424759 bleibt 424759 424939 das 424939 425319 doppelte 425319 425779 Null 425779 426019 kein 426019 427139 Unterschied 427139 427279 in 427279 427399 der 427399 427659 Mitte 427659 428459 hier 428459 428659 um 428659 428759 ein 428759 429139 Original 429139 429259 ein 429259 429599 halb 429599 430499 war 430499 430939 wird 430939 431399 zwei 431399 431899 C 431899 432359 nun 432359 432819 eins 432819 433419 werden 433419 433639 mir 433639 433819 wird 433819 433939 es 433939 434279 minus 434279 434579 eins 434579 434999 werden 434999 435139 auf 435139 435239 der 435239 435519 halben 435519 435999 Strecke 435999 436239 zu 436239 436599 minus 436599 436819 eins 436819 436999 beim 436999 437999 Original 437999 439499 und so weiter 439499 439699 das 439699 439859 ist 439859 440059 eine 440059 440239 sehr 440239 440739 plausible 440739 441279 Art 441279 441419 ein 441419 442239 Vielfaches 442239 442519 von 442519 442799 einem 442799 443139 solchen 443139 443739 Konvektor 443739 443939 zu 443939 444579 bilden 444579 444739 ich 444739 445419 multipliziere 445419 445759 die 445759 447359 Höhe 447359 447639 damit 447639 447739 ich 447739 447819 die 447819 448359 Addition 448359 448839 vorführen 448839 449039 kann 449039 449279 brauche 449279 449359 ich 449359 449519 noch 449519 449579 in 449579 449979 zweiten 449979 452239 Korrektor 452239 452479 Komma 452479 452779 hier 452779 452939 soll 452939 453079 der 453079 453319 null 453319 455179 sein 455179 455379 ihr 455379 455579 soll 455579 455679 er 455679 456059 einst 456059 457659 sein 457659 457959 sollen 457959 458319 zwei 458319 459179 sein 459179 459319 dann 459319 459539 wieder 459539 459819 hier 459819 460279 irgendwo 460279 460719 minus 460719 461039 eins 461039 462439 sein 462439 462679 und 462679 462799 nun 462799 463159 überlege 463159 463259 ich 463259 463379 mir 463379 463539 was 463539 463659 die 463659 463959 Summe 463959 464199 ist 464199 464359 von 464359 464739 C 464739 464939 und 464939 466539 D 466539 466679 und 466679 466759 ich 466759 467159 summieren 467159 467539 natürlich 467539 467759 schlicht 467759 467859 und 467859 468299 ergreifend 468299 468679 die 468679 469899 Höhen 469899 470179 hier 470179 470359 sind 470359 470659 beide 470659 471139 zusammen 471139 471879 gleich 471879 473659 eins 473659 473999 D 473999 474279 ist 474279 475599 null 475599 476259 CS 476259 476899 eins 476899 477119 dann 477119 477519 ist 477519 477899 hier 477899 478039 die 478039 478359 Summe 478359 478539 aus 478539 478999 beiden 478999 480479 eins 480479 480639 hier 480639 480959 unten 480959 481139 ist 481139 481259 sie 481259 481439 aber 481439 481839 auch 481839 482839 eins 482839 483139 C 483139 483479 ist 483479 484519 null 484519 484759 D 484759 484999 ist 484999 485359 ein 485359 485659 See 485659 486019 sie 486019 486299 auch 486299 486859 eins 486859 487099 und 487099 487299 immer 487299 487459 noch 487459 487739 bisschen 487739 488319 Nachdenken 488319 488539 stellt 488539 488679 man 488679 489699 fest 489699 490199 entlang 490199 490499 dieser 490499 491459 Graden 491459 491719 ist 491719 491819 die 491819 492119 Summe 492119 493919 eins 493919 494139 hier 494139 494339 ist 494339 494619 sie 494619 494959 gleich 494959 496119 zwei 496119 496499 hier 496499 496999 ist 496999 497299 die 497299 497659 gleich 497659 498239 eins 498239 498699 das heißt 498699 498879 hier 498879 499019 ist 499019 499119 die 499119 499399 Summe 499399 500599 drei 500599 501239 und 501239 501679 hier 501679 501999 ist 501999 502239 sie 502239 502599 gleich 502599 503099 eins 503099 503479 hier 503479 503739 ist 503739 504019 die 504019 504379 gleich 504379 504759 zwei 504759 504959 hier 504959 505119 ist 505119 505219 die 505219 505499 Summe 505499 505819 auch 505819 506959 drei 506959 507199 zwei 507199 507559 Minuten 507559 509019 Nachdenken 509019 509479 entlang 509479 509719 dieser 509719 510179 kompletten 510179 510659 Graden 510659 510899 wird 510899 511119 die 511119 511619 Summe 511619 512019 drei 512019 512879 sein 512879 513339 inzwischen 513339 513499 mit 513499 514079 offensichtlich 514079 514519 zwei 514519 515499 sein 515499 515799 hier 515799 516059 müssen 516059 516159 wir 516159 517819 durchgehen 517819 518399 parallel 518399 518539 und 518539 518879 haben 518879 519479 null 519479 519819 minus 519819 520039 eins 520039 520179 auf 520179 520299 der 520299 520559 anderen 520559 522059 Seite 522059 522219 ?? 522219 522399 man 522399 522639 kann 522639 522799 auf 522799 523179 ziemlich 523179 523459 dumme 523459 524419 Weise 524419 524679 diese 524679 525479 Korrekturen 525479 525619 mit 525619 525999 Zahlen 525999 527059 multiplizieren 527059 527359 und 527359 528079 zueinander 528079 528679 addieren 528679 528839 und 528839 529299 natürlich 529299 529639 gelten 529639 529939 dabei 529939 530079 die 530079 530499 üblichen 530499 531739 Rechengesetze 531739 531899 das 531899 531999 es 531999 532219 kein 532219 533899 Wunder 533899 534239 warum 534239 534439 sind 534439 534619 das 534619 534939 jetzt 534939 536319 Linearformen 536319 536859 linearer 536859 537619 Abbildungen 537619 537959 vom 537959 538639 Vektorraum 538639 538859 nach 538859 538999 den 538999 539379 reellen 539379 541119 Zahlen 541119 541339 das 541339 541519 soll 541519 541639 ja 541639 542259 heißen 542259 542479 dass 542479 542699 diese 542699 544279 Korrekturen 544279 544439 die 544439 545119 normalen 545119 545899 Vektoren 545899 547359 linear 547359 547639 nach 547639 547799 den 547799 548239 reellen 548239 548659 Zahlen 548659 549599 abbilden 549599 549779 ich 549779 550119 zeichne 550119 550259 mit 550259 550519 einem 550519 551959 Beispiel 551959 552179 das 552179 552399 soll 552399 552619 mein 552619 553279 Korrektor 553279 553999 namens 553999 554619 C 554619 555939 sein 555939 556159 hier 556159 556339 ist 556339 556479 der 556479 557179 null 557179 557319 der 557319 557739 einst 557739 557919 als 557919 558059 der 558059 558499 zweite 558499 558539 ?? 558539 558739 ist 558739 558859 der 558859 559139 drei 559139 559259 ?? 559259 559539 ist 559539 560039 minus 560039 561659 eins 561659 561839 hier 561839 562059 ist 562059 562599 natürlich 562599 563319 Pi 563319 563579 und 563579 563779 hier 563779 563919 ist 563919 564019 der 564019 564459 Wurzel 564459 566159 zwei 566159 566439 nicht 566439 566799 Zeichner 566799 567039 Komma 567039 567299 zwei 567299 567819 normale 567819 568359 Vektoren 568359 568739 ein 568739 568959 aus 568959 569099 dem 569099 569559 üblichen 569559 571119 Vektorraum 571119 571319 in 571319 571459 den 571459 571599 ich 571599 571819 mal 571819 572859 A 572859 573239 denen 573239 573399 ich 573399 574679 B 574679 574799 und 574799 574979 nun 574979 575139 soll 575139 575259 ich 575259 575359 ja 575359 575839 sagen 575839 576059 wie 576059 576339 dieser 576339 577079 Covektor 577079 578579 C 578579 578859 einen 578859 579599 normalen 579599 580759 Vektor 580759 580999 zu 580999 581219 einer 581219 581579 reellen 581579 581979 Zahl 581979 583079 macht 583079 583319 ?? 583319 584639 offensichtlich 584639 585019 machte 585019 585279 diesen 585279 585659 Vektor 585659 585999 A 585999 586259 zur 586259 586619 Zeit 586619 587179 zwei 587179 587399 alles 587399 587659 andere 587659 587919 wäre 587919 588879 blödsinnig 588879 589139 und 589139 589279 in 589279 589599 Vektor 589599 589959 B 589959 590279 macht 590279 590359 er 590359 590559 zur 590559 591679 Zahl 591679 593339 anderthalb 593339 593579 der 593579 593799 Wirt 593799 594719 zwei 594719 594939 und 594939 595159 der 595159 595799 B 595799 596079 wird 596079 597619 anderthalb 597619 597679 ?? 597679 597819 auf 597819 598019 diese 598019 598539 Weise 598539 599099 wirkt 599099 599279 so 599279 599439 ein 599439 600239 Konvektor 600239 600639 auf 600639 600899 einen 600899 601539 normalen 601539 601959 Vektor 601959 602119 und 602119 602199 es 602199 602459 kommt 602459 602619 eine 602619 603059 Zahl 603059 604099 raus 604099 604239 wir 604239 604439 haben 604439 605099 angefangen 605099 605639 mit 605639 606599 Zeilenvektor 606599 606999 mal 606999 607979 Spaltenvektor 607979 608219 ist 608219 608539 gleich 608539 608779 eine 608779 609699 Zahl 609699 609839 der 609839 610239 steckt 610239 610699 eigentlich 610699 611139 dahinter 611139 611379 dieser 611379 612899 Kuhvektor 612899 613219 ist 613219 613599 sowas 613599 613699 wie 613699 613859 ein 613859 615779 Zeilenvektor 615779 616179 dieses 616179 616879 Anwenden 616879 617239 hier 617239 617519 ist 617519 617959 eigentlich 617959 618459 sowas 618459 619499 wie 619499 619719 das 619719 620179 Produkt 620179 621059 Zeilenvektor 621059 621359 mal 621359 622799 Spaltenvektor 622799 623299 natürlich 623299 623439 ist 623439 623599 das 623599 625339 Lineal 625339 625579 im 625579 625899 Jahr 625899 626499 Form 626499 626839 heißt 626839 627059 es 627061 627661 deshalb 627661 627861 im 627861 628121 Jahr 628121 628301 soll 628301 629201 heißen 629201 629341 wenn 629341 629441 ich 629441 629641 das 629641 630461 Vielfache 630461 630781 eines 630781 631281 Rektors 631281 632741 Einsätze 632741 633041 den 633041 633261 Weg 633261 633681 daher 633681 634281 zum Beispiel 634281 635341 halbierte 635341 635581 sich 635581 635701 auch 635701 635801 nur 635801 635901 die 635901 636221 Hälfte 636221 637001 raus 637001 637261 dieses 637261 637821 Vielfache 637821 638101 kann 638101 638821 ich 638821 640181 ausklammern 640181 640381 das 640381 640521 es 640521 640781 ein 640781 641101 Teil 641101 641241 der 641241 642081 Linearität 642081 642201 und 642201 642301 der 642301 642741 zweite 642741 642961 Teil 642961 643081 der 643081 643801 Linearität 643801 644441 ist 644441 644581 wenn 644581 644701 ich 644701 644921 eine 644921 645341 Summe 645341 646441 einsetze 646441 646641 dass 646641 646781 ich 646781 647241 dann 647241 647461 die 647461 647901 Summe 647901 648761 Rauskrieger 648761 649181 der 649181 650801 Anwendungen 650801 651241 für 651241 651441 alle 651441 651821 reellen 651821 652261 Zahlen 652261 652881 anderer 652881 653101 und 653101 653401 für 653401 653581 alle 653581 654161 Vektoren 654161 654661 habe 656417 656597 alle 656597 657077 Vektoren 657077 657337 haben 657337 657417 die 657417 657977 Eigenschaft 657977 658117 dass 658117 658297 man 658297 658457 ein 658457 658637 paar 658637 659157 Vektoren 659157 660237 braucht 660237 660637 um 660637 660877 alle 660877 661317 anderen 661317 661757 daraus 661757 662097 zu 662097 663097 bilden 663097 663257 und 663257 663697 meistens 663697 663877 als 663877 664417 Lektoren 664417 664577 aus 664577 664737 dem 664737 664937 man 664937 665137 alle 665137 665577 anderen 665577 666657 bildet 666657 667257 minimal 667257 667637 macht 667637 667877 das 667877 668137 kein 668137 668437 Vektor 668437 668717 davon 668717 669057 übrig 669057 669257 ist 669257 669517 heißt 669517 669657 das 669657 669817 dann 669817 669997 eine 669997 671097 Basis 671097 671477 dieses 671477 671797 hier 671797 671997 diese 671997 672257 beiden 672257 673417 Vektoren 673417 673717 wären 673717 674237 zum Beispiel 674237 674417 eine 674417 675837 Basis 675837 676177 um 676177 677077 alle 677077 677717 Vektoren 677717 677837 in 677837 677997 der 677997 678317 Ebene 678317 678517 zu 678517 680097 bauen 680097 680437 diese 680437 680837 Vektor 680837 681257 hier 681257 681417 ein 681417 681757 Wein 681757 682557 aber 682557 682717 den 682717 682877 kann 682877 682977 ich 682977 683577 zum Beispiel 683577 684717 bilden 684717 684877 in 684877 685057 dem 685057 685197 ich 685197 685497 eins 685497 685757 Komma 685757 686037 drei 686037 686277 mal 686277 686717 E eins 686717 687977 nehme 687977 688837 und 688837 689217 fragen 689217 689937 wir 689937 690217 eins 690217 690497 Komma 690497 690857 zwei 690857 691677 mal 691677 693177 zwei 693177 693657 analog 693657 693977 geht 693977 694277 das 694277 694897 mit 694897 695257 allen 695257 695817 Vektoren 695817 695937 in 695937 696097 der 696097 697577 Ebene 697577 698117 jeden 698117 698477 egal 698477 698897 welchen 698897 699037 ich 699037 699617 nehme 699617 699797 kann 699797 699897 ich 699897 700077 mit 700077 700357 diesen 700357 700697 beiden 700697 702357 Ausdrücken 702357 702537 und 702537 702637 um 702637 702817 alle 702817 703257 Vektoren 703257 703377 der 703377 703657 Ebene 703657 703837 zu 703837 704537 bilden 704537 704697 kann 704697 704837 ich 704837 705117 nicht 705117 705317 nur 705317 705757 E eins 705757 706117 nehmen 706117 706377 oder 706377 706597 nur 706597 706677 in 706677 706977 zwei 706977 707297 nehme 707297 707417 ich 707417 708317 brauche 708317 709637 beide 709637 710437 das heißt 710437 710537 die 710537 710857 Menge 710857 711117 hier 711117 711357 aus 711357 711617 diesen 711617 712037 beiden 712037 712277 ist 712277 712657 eine 712657 714937 Basis 714937 715517 gegeben 715517 715757 eine 715757 716277 Basis 716277 716517 eines 716517 717317 Vektorraums 717317 717497 kann 717497 717597 man 717597 717777 sich 717777 717937 nun 717937 718537 überlegen 718537 718657 wie 718657 718857 man 718857 719057 eine 719057 719517 Basis 719517 719697 für 719697 719877 den 719877 721717 Dualraum 721717 723257 bekommt 723257 723337 ich 723337 723577 habe 723577 723837 also 723837 724057 eine 724057 725317 Basis 725317 725637 für 725637 725917 mein 725917 726897 V 726897 727377 Schreiben 727377 728197 ausdrücklich 728197 728657 eine 728657 729297 unterstrichen 729297 729717 Basis 729717 729837 es 729837 730037 gibt 730037 730397 unendlich 730397 730617 viele 730617 731937 Basen 731937 732197 alle 732197 732497 werden 732497 732757 zwei 732757 733157 Elemente 733157 733477 haben 733477 733677 für 733677 733957 diesen 733957 735717 Vektorraum 735717 736057 nach 736057 736097 ?? 736097 736197 in 736197 736297 der 736297 737197 Relativitätstheorie 737197 737477 haben 737477 737517 ?? 737517 737697 durch 737697 738037 Basen 738037 738377 mit 738377 738797 vier 738797 739577 Elementen 739577 739717 es 739717 739877 geht 739877 739957 um 739957 740217 vier 740217 740897 Dimensionen 740897 741137 hier 741137 741657 geht's 741657 741997 um 741997 742297 zwei 742297 744137 Dimensionen 744137 744477 zu 744477 744737 dieser 744737 745297 gegebenen 745297 746237 Basis 746237 746437 kann 746437 746557 ich 746557 746737 nun 746737 746957 eine 746957 747437 Basis 747437 747977 bauen 747977 748197 mit 748197 748457 der 748457 748617 ich 748617 749197 alle 749197 750557 Konvektoren 750557 750957 bilden 750957 752277 kann 752277 752437 die 752437 752637 hat 752637 752897 jetzt 752897 753137 zwei 753137 753597 Elemente 753597 753677 in 753677 753897 diesem 753897 754257 Fall 754257 754377 und 754377 754537 diese 754537 754777 beiden 754777 755297 Elemente 755297 755517 nenn 755517 756097 ich 756097 756417 nicht 756417 756517 der 756517 757517 überraschenderweise 757517 758077 die 758077 758657 hoch 758657 760057 eins 760057 760297 hoch 760297 760697 stellen 760697 760877 sieht 760877 761037 man 761037 761377 gleich 761377 761557 ist 761557 761597 ?? 761597 762337 raffinierter 762337 762797 formaler 762797 763897 Trick 763897 764037 und 764037 764197 das 764197 764497 zweite 764497 764877 Element 764877 765277 nämlich 765277 765497 E 765497 766897 hoch zwei 766897 767117 dass 767117 767217 ich 767217 767437 meine 767437 767657 außer 767657 767877 dir 767877 768057 nicht 768057 768217 das 768217 768857 Quadrat 768857 770197 sondern 770197 770597 das 770597 771217 zweite 771217 771757 Element 771757 772037 aus 772037 772297 dieser 772297 773977 Basis 773977 774157 das 774157 774277 mit 774277 774397 dem 774397 775057 hochstellen 775057 775297 ist 775297 775437 nur 775437 775577 ein 775577 775977 formaler 775977 776257 Trick 776257 776417 wie 776417 777717 gesagt 777717 777937 gleich 777937 778137 sieht 778137 778277 man 778277 778557 Worms 778557 779057 raffiniert 779057 780377 ist 780377 780737 dieses 780737 780937 wird 780937 781117 eine 781117 781637 Basis 781637 781897 von 781897 782197 Frau 782197 782717 Stern 782717 783117 werden 783117 783257 dem 783257 783817 dualen 783817 784477 Raum 784477 784677 und 784677 784897 zwar 784897 784997 die 784997 785157 zu 785157 785277 der 785277 785737 ersten 785737 786257 Basis 786257 786837 duale 786837 788257 Basis 788257 788657 jedes 788657 788877 dieser 788877 789197 beiden 789197 789937 Elemente 789937 790277 sollte 790277 791117 jetzt 791117 791397 eine 791397 791857 lineare 791857 792437 Abbildung 792437 792877 sein 792877 793037 es 793037 793237 soll 793237 793717 einen 793717 794357 Original 794357 795177 wegzunehmen 795177 795457 aus 795457 795937 V 795937 796097 und 796097 796317 eine 796317 796617 reelle 796617 796957 Zahl 796957 797277 draus 797277 798077 machen 798077 798237 und 798237 798317 der 798317 798697 Gedanke 798697 798877 ist 798877 799097 ganz 799097 799577 banal 799577 799857 welche 799857 800177 reelle 800177 800517 Zahl 800517 800757 soll 800757 801377 ausgemacht 801377 802237 werden 802237 802457 die 802457 803517 Zahlen 803517 803737 die 803737 803957 hier 803957 804157 als 804157 804877 Komponente 804877 805077 vor 805077 805217 dem 805217 805677 jeweiligen 805677 806377 Basisvektor 806377 807197 steht 807197 807437 also 807437 807557 wenn 807557 807677 ich 807677 807917 die 807917 808257 oben 808257 808817 eins 808817 809297 Anwender 809297 809617 auf 809617 810157 Adern 810157 810337 soll 810337 810417 die 810417 810617 eins 810617 810857 Komma 810857 811077 drei 811077 812097 rauskommen 812097 812317 wenn 812317 812497 ich 812497 813057 ihn 813057 813477 um 813477 813957 zwei 813957 814457 Anwender 814457 815277 aufarbeiten 815277 815437 soll 815437 815557 die 815557 815757 eins 815757 816037 Komma 816037 816497 zwei 816497 818077 rauskommen 818077 818217 ?? 818217 818457 ich 818457 818697 mal 818697 818897 immer 818897 819377 zuerst 819377 819657 die 819657 819977 oben 819977 820437 eins 820437 821117 ein 821117 821317 auf 821317 821577 dieser 821577 822117 geraden 822117 822517 enden 822517 822817 alle 822817 823997 Vektoren 823997 824437 die 824437 825317 einmalige 825317 825717 eins 825717 826117 drin 826117 826657 haben 826657 827297 einmal 827297 827857 E eins 827857 828237 plus 828237 828917 soundsoviel 828917 829377 Malé 829377 830157 zwei 830157 830757 Das heißt 830757 831097 entlang 831097 831417 dieser 831417 831877 geraden 831877 832137 ist 832137 832337 eh 832337 832777 oben 832777 833317 eins 833317 834057 gleich 834057 835297 eins 835297 835497 hier 835497 835917 steht 835917 836257 dann 836257 836837 einmal 836837 837337 E eins 837337 837617 plus 837617 838317 irgendwas 838317 838477 in 838477 839617 zwei 839617 840557 hier 840557 840877 ist 840877 841257 das 841257 842517 null 842517 842637 ich 842637 842837 habe 842837 843177 nur 843177 843457 mal 843457 843897 E eins 843897 844197 plus 844197 844757 soundsoviel 844757 845137 Male 845137 846157 zwei 846157 846497 Hiebe 846497 846697 des 846697 847097 minus 847097 848597 einzahlen 848597 848857 und 848857 849997 hier 849997 850257 wird 850257 850377 es 850377 850777 zwei 850777 851817 sein 851817 852517 zweimal 852517 853117 E eins 853117 853437 plus 853437 854117 soundsoviel 854117 854437 mal 854437 854637 in 854637 856077 zwei 856077 856577 analog 856577 856857 für 856857 857297 E.ON 857297 858157 zwei 858157 858457 mal 858457 858637 auch 858637 858837 mal 858837 859117 die 859117 859417 oben 859417 859957 zwei 859957 861537 ein 861537 861957 entlang 861957 862297 von 862297 862717 dieser 862717 863817 geraden 863817 864137 ist 864137 864517 kein 864517 865017 Anteil 865017 865317 von 865317 865917 E zwei 865917 866517 drin 866517 866797 diese 866797 867297 Vektoren 867297 867617 hier 867617 868037 entlang 868037 868317 dieser 868317 868837 Graden 868837 869037 sind 869037 869657 soundsoviel 869657 870117 Mark 870117 870677 eins 870677 871017 und 871017 871477 null 871477 872117 mal 872117 872797 zwei 872797 873097 hier 873097 873317 ist 873317 873417 der 873417 874177 Covektor 874177 874617 EU 874617 874997 zwei 874997 875517 gleich 875517 877097 Null 877097 877537 entlang 877537 877897 dieser 877897 878697 Graden 878697 879037 ist 879037 879557 einmal 879557 879737 je 879737 880157 zwei 880157 880657 drin 880657 881097 einmal 881097 881217 in 881217 881857 zwei 881857 882137 plus 882137 882777 soundsoviel 882777 883817 mal 883817 885297 E eins 885297 885457 hier 885457 886017 Obenrahmen 886017 886217 und 886217 887297 Stückchen 887297 887517 von 887517 887737 einer 887737 888257 geraden 888257 888737 wo 888737 888877 die 888877 889137 oben 889137 889477 zwei 889477 889737 gleich 889737 890077 zwei 890077 891477 ist 891477 892217 unten 892217 892437 ist 892437 892557 die 892557 892797 oben 892797 893097 zwar 893097 893397 gleich 893397 893877 minus 893877 894797 eins 894797 894977 so 894977 895357 spielen 895357 895457 die 895457 895817 beiden 895817 896557 Basen 896557 896737 an 896737 896877 den 896877 897877 Hand 897877 898117 zu 898117 898397 einer 898397 899157 gegebenen 899157 899737 Basis 899737 899957 des 899957 901437 Originalvektorraums 901437 901637 kann 901637 901777 ich 901777 902497 eine 902497 903177 duale 903177 903797 Basis 903797 904137 des 904137 905117 Dualraums 905117 906497 hinschreiben 906497 906597 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auswendig 957697 958697 rauskriegen 958697 959137 eins 959137 959357 oder 959357 960797 null 960797 961417 eins 961417 961637 wenn 961637 962057 ich 962057 962257 Ka 962257 962557 gleich 962557 962817 schnell 962817 963457 habe 963457 963797 eins 963797 964257 eins 964257 964537 zwei 964537 965377 zwei 965377 965657 und 965657 965897 null 965897 966377 sonst 966377 966537 wenn 966537 966617 die 966617 966857 nicht 966857 968897 übereinstimmen 968897 969057 ?? 969057 969377 diesen 969377 969797 kurzen 969797 970597 Namen 970597 970977 Delta 970977 971537 KL 971537 971837 Dustin 971837 971977 sich 971977 972177 das 972177 974237 Kronecker-Delta 974237 974637 dieses 974637 975177 Symbol 975177 975377 das 975377 975697 kleine 975697 976157 griechische 976157 976837 delta 976837 977217 oben 977217 977457 K 977457 977877 unten 977877 978137 L 978137 978477 ist 978477 978717 so 978717 979377 definiert 979377 979657 das 979657 979877 es 979877 980197 null 980197 980517 ist 980517 980657 für 980657 980977 dieses 980977 981297 kaum 981297 981477 dass 981477 981657 er 981657 982117 verschieden 982117 982797 sind 982797 982997 und 982997 983137 dass 983137 983357 es 983357 983757 eins 983757 984497 ist 984497 984797 wenn's 984797 985317 dieselben 985317 986137 sind 986137 986497 Beistrich 986497 986757 müssen 986757 986937 nicht 986937 987457 zwangsläufig 987457 987957 Kartell 987957 988177 dran 988177 988657 stehen 988657 988917 können 988917 989097 auch 989097 989317 J 989317 989497 und 989497 989917 I 989917 990197 oder 990197 990557 Alpha 990557 990737 und 990737 991057 Beta 991057 991297 dran 991297 992277 stehen 992277 992677 dasselbe 992677 993327 Phänomen 995431 995811 jetzt 995811 995951 aber 995951 996351 unendlich 996351 996571 viele 996571 997811 Basen 997811 997931 ich 997931 998191 kann 998191 998451 diese 998451 998891 Basis 998891 999231 nehmen 999231 999511 oder 999511 999691 kann 999691 999851 eine 999851 1000091 ganz 1000091 1000451 andere 1000451 1001991 nehmen 1001991 1002491 zum Beispiel 1002491 1002711 diese 1002711 1003111 Basis 1003111 1003411 hier 1003411 1003631 mit 1003631 1004071 E eins 1004071 1004671 Strich 1004671 1004891 und 1004891 1005411 E zwei 1005411 1005911 strich 1005911 1006111 aus 1006111 1006431 diesen 1006431 1006731 beiden 1006731 1007251 Vektoren 1007251 1007451 kann 1007451 1007671 ich 1007671 1008031 auch 1008031 1008191 alle 1008191 1008671 Vektoren 1008671 1008811 der 1008811 1009131 Ebene 1009131 1010391 bilden 1010391 1010571 und 1010571 1010631 in 1010631 1010731 der 1010731 1011251 Physik 1011251 1011491 muss 1011491 1011871 egal 1011871 1012451 sein 1012451 1012791 welche 1012791 1013251 Basis 1013251 1013451 ich 1013451 1014291 nehme 1014291 1014411 die 1014411 1014911 Basis 1014911 1015151 ist 1015151 1015631 was 1015631 1016551 handgemachtes 1016551 1016711 was 1016711 1016811 ich 1016811 1017271 benutze 1017271 1017371 um 1017371 1018031 Koordinaten 1018031 1019371 einzuzeichnen 1019371 1019591 was 1019591 1020051 passiert 1020051 1020391 darf 1020391 1020631 nicht 1020631 1020811 vom 1020811 1020971 ein 1020971 1021831 Koordinatensystem 1021831 1022791 abhängen 1022791 1022991 das 1022991 1023571 interessiert 1023571 1023691 man 1023691 1023911 sich 1023911 1024291 dafür 1024291 1024511 was 1024511 1024971 passiert 1024971 1025091 wenn 1025091 1025231 man 1025231 1025371 auf 1025371 1025551 eine 1025551 1025811 neue 1025811 1026251 Basis 1026251 1027311 transformiert 1027311 1027491 die 1027491 1027891 Physik 1027891 1028051 aus 1028051 1028491 dieselbe 1028491 1030111 Bleiben 1030111 1030411 diesen 1030411 1030851 ersten 1030851 1031171 neuen 1031171 1031971 Basisvektor 1031971 1032131 den 1032131 1032371 muss 1032371 1032511 ich 1032511 1032651 mit 1032651 1032771 den 1032771 1033191 alten 1033191 1033871 ausdrücken 1033871 1034931 können 1034931 1035031 ich 1035031 1035251 schreib 1035251 1035371 das 1035371 1035551 jetzt 1035551 1035731 mal 1035731 1036311 allgemeiner 1036311 1036771 hin 1036771 1037131 in 1037131 1037531 N 1037531 1038811 Dimensionen 1038811 1038931 und 1038931 1039231 sein 1039231 1039491 Sohn 1039491 1039811 Sophie 1039811 1040171 Malle 1040171 1040571 erst 1040571 1041171 ursprüngliche 1041171 1041971 Basisvektor 1041971 1042291 Plus 1042291 1042851 soundsoviel 1042851 1043071 mal 1043071 1043691 der 1043691 1044271 zweite 1044271 1044871 ursprüngliche 1044871 1045651 Basisvektor 1045651 1045971 plus 1045971 1046251 plus 1046251 1046991 plus 1046991 1047331 plus 1047331 1047611 unsere 1047611 1048011 Firma 1048011 1048331 der 1048331 1049011 letzte 1049011 1049631 Sommernummer 1049631 1050231 N 1050231 1050811 ursprüngliche 1050811 1052291 Basisvektor 1052291 1052811 welches 1052811 1053091 wissen 1053091 1053251 wir 1053251 1053491 welche 1053491 1054871 Komponente 1054871 1055191 welche 1055191 1055811 Zahl 1055811 1055971 hier 1055971 1056151 vor 1056151 1056311 dem 1056311 1056711 ersten 1056711 1057431 Basisvektor 1057431 1058211 steht 1058211 1058431 kann 1058431 1058511 ich 1058511 1058611 ja 1058611 1058891 wieder 1058891 1059291 meinen 1059291 1059631 du 1059631 1060131 einen 1060131 1060871 Basisvektor 1060871 1061211 dazu 1061211 1061631 nehmen 1061631 1061771 der 1061771 1062111 sagt 1062111 1062251 mir 1062251 1063031 das 1063031 1063271 eh 1063271 1063691 oben 1063691 1064111 eins 1064111 1064711 angewendet 1064711 1064931 auf 1064931 1065751 den 1065751 1065771 ?? 1065771 1066151 gibt 1066151 1067051 mir 1067051 1067351 was 1067351 1067471 hier 1067471 1067751 vorne 1067751 1068051 drin 1068051 1068911 steht 1068911 1069131 und 1069131 1069251 die 1069251 1069431 hier 1069431 1069611 zu 1069611 1069931 wissen 1069931 1070331 nämlich 1070331 1070511 eh 1070511 1070851 oben 1070851 1071931 zwei 1071931 1072591 angewendet 1072591 1072871 auf 1072871 1073491 den 1073491 1075231 und so weiter 1075231 1075351 er 1075351 1075611 steht 1075611 1075811 also 1075811 1076011 zum 1076011 1076291 Schluss 1076291 1076751 etwas 1076751 1076911 wie 1076911 1078411 folgendes 1078411 1078751 diese 1078751 1079251 Zahl 1079251 1080111 hier 1080111 1080691 korrekt 1080691 1081151 angewendet 1081151 1081271 auf 1081271 1081691 Vektor 1081691 1081931 gibt 1081931 1082131 eine 1082131 1083711 Zahl 1083711 1083851 die 1083851 1084711 Komponente 1084711 1084911 den 1084911 1085991 Anteil 1085991 1086191 ?? 1086191 1086531 also 1086531 1086771 eh 1086771 1087111 oben 1087111 1087531 eins 1087531 1088331 angewendet 1088331 1088551 auf 1088551 1088731 den 1088731 1089611 ersten 1089611 1090471 Basisvektor 1090471 1090651 der 1090651 1091131 neuen 1091131 1091771 Basis 1091771 1092311 mal 1092311 1092651 diesen 1092651 1093111 Vektor 1093111 1094351 E eins 1094351 1095031 Zahl 1095031 1095231 mal 1095231 1096211 Vektor 1096211 1096911 plus 1096911 1097331 diese 1097331 1098311 Zahl 1098311 1098471 der 1098471 1098991 zweite 1098991 1099591 Vektor 1099591 1099711 der 1099711 1100451 ursprünglichen 1100451 1100951 dualen 1100951 1101811 Basis 1101811 1102931 angewendet 1102931 1103451 auf 1103451 1104031 den 1104031 1104491 ersten 1104491 1104891 Vektor 1104891 1105051 der 1105051 1105411 neuen 1105411 1106291 Basis 1106291 1107091 bezahlen 1107091 1107771 mal 1107771 1107991 den 1107991 1108951 zweiten 1108951 1109631 ursprünglichen 1109631 1111311 Basisvektor 1111311 1112051 plus 1112051 1113951 und so weiter 1113951 1114771 plus 1114771 1115051 und 1115051 1115311 hier 1115311 1115531 steht 1115531 1115671 dann 1115671 1115851 als 1115851 1116611 letztes 1116611 1116711 die 1116711 1117211 Nummer 1117211 1117891 ähm 1117891 1118551 angewendet 1118551 1118811 auf 1118811 1119291 E eins 1119291 1119811 Strich 1119811 1120231 mal 1120231 1121071 die 1121071 1122691 ähm 1122691 1122851 da 1122851 1123251 schreibt 1123251 1123411 man 1123411 1124111 professioneller 1124111 1124511 Weise 1124511 1124691 mit 1124691 1124891 einem 1124891 1127171 Summenzeichen 1127171 1127351 und 1127351 1127831 formulierte 1127831 1128291 sowieso 1128291 1129251 allgemeiner 1129251 1129391 wenn 1129391 1129531 ich 1129531 1129651 hier 1129651 1129871 nicht 1129871 1130111 den 1130111 1130731 ersten 1130731 1131131 neun 1131131 1131931 Basisvektor 1131931 1132491 zerlegen 1132491 1133171 will 1133171 1133691 sondern 1133691 1133931 den 1133931 1134091 mit 1134091 1134211 der 1134211 1134551 Nummer 1134551 1135671 L 1135671 1135851 dann 1135851 1136151 krieg 1136151 1136291 ich 1136291 1136571 eine 1136571 1137851 Summe 1137851 1138211 über 1138211 1138491 ähm 1138491 1138771 Dinge 1138771 1139591 ?? 1139591 1139771 ich 1139771 1140171 nummerierte 1140171 1140451 durch 1140451 1140591 mit 1140591 1141351 Kaka 1141351 1141651 gleich 1141651 1142051 eins 1142051 1142331 bis 1142331 1143191 N 1143191 1143411 K 1143411 1143711 gleich 1143711 1144351 eins 1144351 1145491 zwei 1145491 1145671 K 1145671 1145971 gleich 1145971 1147291 N 1147291 1147691 ich 1147691 1148071 nehme 1148071 1148291 den 1148291 1148531 Sohn 1148531 1148751 ?? 1148751 1149451 Gegenvektor 1149451 1149731 aus 1149731 1149891 der 1149891 1150431 dualen 1150431 1151331 Basis 1151331 1151631 die 1151631 1152951 Obencar 1152951 1153431 wende 1153431 1153671 ihn 1153671 1154431 an 1154431 1154651 auf 1154651 1154831 den 1154831 1155071 Weg 1155071 1155191 ?? 1155191 1155511 hier 1155511 1155871 steht 1155871 1156191 immer 1156191 1156351 das 1156351 1156791 E eins 1156791 1157631 strich 1157631 1157871 jetzt 1157871 1157991 ist 1157991 1158191 es 1158191 1160391 EL Strich 1160391 1161351 Beistrich 1161351 1161651 und 1161651 1162531 multipliziere 1162531 1162691 mit 1162691 1162851 dem 1162851 1163531 soundsoviel 1163531 1164371 Gegenvektor 1164371 1164511 der 1164511 1165191 ursprünglichen 1165191 1165751 Basis 1165751 1167111 EK 1167111 1167371 das 1167371 1167531 ist 1167531 1167751 das 1167751 1169491 Informationsverhalten 1169491 1169751 wie 1169751 1170091 werden 1170091 1170291 die 1170291 1170731 alten 1170731 1172191 Basisvektoren 1172191 1172411 zu 1172411 1172611 den 1172611 1173011 neuen 1173011 1175371 Basisvektoren 1175371 1175491 ich 1175491 1175731 habe 1175731 1175831 ihr 1175831 1175951 so 1175951 1176171 eine 1176171 1176731 Summe 1176731 1176991 und 1176991 1177291 diese 1177291 1179171 Faktoren 1179171 1179391 das 1179391 1179611 nennt 1179611 1179951 sich 1179951 1180711 kovariant 1180711 1180871 ist 1180871 1180971 ein 1180971 1183771 Summationsverhalten 1183771 1183991 es 1183991 1184811 variiert 1184811 1185791 mit 1185791 1185971 der 1185971 1186571 Basis 1186571 1187851 co 1187851 1187991 ich 1187991 1188251 gucke 1188251 1188511 mir 1188511 1188691 an 1188691 1188891 was 1188891 1188991 die 1188991 1189391 Basis 1189391 1190691 macht 1190691 1191751 also 1191751 1192111 deshalb 1192111 1192291 ist 1192291 1192431 das 1192431 1192531 die 1192531 1193131 Definition 1193131 1193311 von 1193311 1193931 kovariant 1193931 1195011 Automationsverhalten 1195011 1195191 so 1195191 1195771 transformiert 1195771 1195931 sich 1195931 1196051 die 1196051 1197311 Basis 1197311 1197411 die 1197411 1197911 Größen 1197911 1198031 die 1198031 1198211 sich 1198211 1198331 auf 1198331 1198791 dieselbe 1198791 1198991 Art 1198991 1199751 transformieren 1199751 1200151 von 1200151 1200511 einer 1200511 1200891 Basis 1200891 1201071 zur 1201071 1201951 anderen 1201951 1202111 die 1202111 1202531 heißen 1202531 1202731 dann 1202731 1203111 eben 1203111 1204111 kovariant 1204111 1204251 bei 1204251 1204551 sie 1204551 1204911 mit 1204911 1205211 der 1205211 1205731 Basis 1205731 1206311 gehen 1206311 1206451 die 1206451 1206851 Basis 1206851 1207071 geht 1207071 1208891 so 1208891 1209011 die 1209011 1209631 normalen 1209631 1210291 Vektoren 1210291 1210611 gehen 1210611 1211871 allerdings 1211871 1212271 gegen 1212271 1212371 die 1212371 1213271 Basis 1213271 1215191 kontravariant 1215191 1215351 das 1215351 1215671 gucken 1215671 1215771 wir 1215771 1215951 uns 1215951 1217091 an 1217091 1217731 gegeben 1217731 1218191 einen 1218191 1218831 normalen 1218831 1219251 Vektor 1219251 1219631 aus 1219631 1219771 dem 1219771 1220271 Vektorraum 1220271 1221771 V 1221771 1222011 den 1222011 1222271 Zell 1222271 1222591 lege 1222591 1223211 ich 1223211 1223451 in 1223451 1224711 Basisvektoren 1224711 1225331 soundsoviel 1225331 1225651 mal 1225651 1226251 E eins 1226251 1226731 plus 1226731 1227511 soundsoviel 1227511 1227991 mal 1227991 1228491 zwei 1228491 1228911 plus 1228911 1229151 plus 1229151 1229431 plus 1229431 1229731 plus 1229731 1230691 und so weiter 1230691 1231471 soundsoviel 1231471 1232271 mal 1232271 1232731 E 1232731 1233691 N 1233691 1234311 jeweils 1234311 1234451 die 1234451 1235731 Vektoren 1235731 1235911 der 1235911 1236531 normalen 1236531 1237771 Basis 1237771 1238071 also 1238071 1238351 kurz 1238351 1239471 gesagt 1239471 1239711 die 1239711 1240191 Summe 1240191 1240471 von 1240471 1240751 K 1240751 1241151 gleich 1241151 1241511 eins 1241511 1241811 bis 1241811 1243031 ähm 1243031 1243991 soundsoviel 1243991 1244371 mal 1244371 1245391 BK 1245391 1245551 der 1245551 1245991 Karte 1245991 1246511 Vektor 1246511 1246651 der 1246651 1247131 normalen 1247131 1247911 Basis 1247911 1248751 unterschreibt 1248751 1248951 man 1248951 1249411 damit's 1249411 1249831 formal 1249831 1250071 gleich 1250071 1250431 hübsch 1250431 1250911 ist 1250911 1251171 A 1251171 1251671 oben 1251671 1252171 K 1252171 1252451 für 1252451 1252551 die 1252551 1253631 Komponenten 1253631 1254071 besteht 1254071 1254311 aber 1254311 1254671 oben 1254671 1255171 eins 1255171 1255551 Augen 1255551 1256471 zwar 1256471 1256771 auch 1256771 1257131 um 1257131 1257571 den 1257571 1257831 soll 1257831 1257971 nicht 1257971 1258331 heißen 1258331 1258531 A 1258531 1258951 hoch 1258951 1259511 K 1259511 1260071 sondern 1260071 1260171 die 1260171 1261171 Komponente 1261171 1261651 Nummer 1261651 1263431 K 1263431 1263611 in 1263611 1263891 einer 1263891 1264371 anderen 1264371 1265891 Basis 1265891 1266151 sieht 1266151 1266751 derselbe 1266751 1267991 Vektor 1267991 1268431 so 1268431 1269751 aus 1269751 1269871 die 1269871 1271251 Basisvektoren 1271251 1272071 sind 1272071 1272291 E 1272291 1272791 J 1272791 1273791 Strich 1273791 1274071 von 1274071 1274231 der 1274231 1274891 Basis 1274891 1275011 ich 1275011 1275171 zu 1275171 1275411 mir 1275411 1275691 ?? 1275691 1275911 über 1275911 1277311 J 1277311 1277351 ?? 1277351 1277691 weitere 1277691 1278451 Akademien 1278451 1278891 können 1278891 1279051 das 1279051 1279131 es 1279131 1279331 gleich 1279331 1279891 raffinierter 1279891 1280091 Weg 1280091 1280431 dieses 1280431 1280791 jedoch 1280791 1281691 kleiner 1281691 1281891 und 1281891 1281971 er 1281971 1282091 hat 1282091 1282191 im 1282191 1282811 Zweifelsfall 1282811 1283191 andere 1283191 1284571 Komponenten 1284571 1284891 schreibe 1284891 1285171 mal 1285171 1285551 paar 1285551 1287451 Strich 1287451 1287791 oben 1287791 1289391 J 1289391 1289871 derselbe 1289871 1290571 Vektor 1290571 1290811 aber 1290811 1291111 ist 1291111 1291411 nicht 1291411 1292031 mehr 1292031 1292511 fünfmal 1292511 1292971 E eins 1292971 1293211 plus 1293211 1293771 sieben 1293771 1294251 zwei 1294251 1294671 sondern 1294671 1294891 weil 1294891 1295031 sich 1295031 1295131 die 1295131 1295431 Bad 1295440 1296260 Vektoren 1296260 1296620 geändert 1296620 1296840 haben 1296840 1297380 brauche 1297380 1297400 ich 1297400 1297860 andere 1297860 1298380 Komponenten 1299929 1300089 und 1300089 1300289 jetzt 1300289 1300429 lass 1300429 1300569 ich 1300569 1300769 mal 1300769 1301249 den 1301249 1302489 Elternvektor 1302489 1302709 der 1302709 1303749 neuen 1303749 1304309 dualen 1304309 1304809 Basis 1304809 1305749 drauflos 1305749 1306029 die 1306029 1306769 Strich 1306769 1307229 oben 1307229 1308449 L 1308449 1309329 Kältevektor 1309329 1309489 der 1309489 1310489 neuen 1310489 1310929 dualen 1310929 1311889 Basis 1311889 1312709 angewendet 1312709 1312969 auf 1312969 1313229 mein 1313229 1315029 Vektorahr 1315029 1315209 was 1315209 1315329 ist 1315329 1315429 der 1315429 1315669 Job 1315669 1315949 von 1315949 1316289 diesem 1316289 1316849 dualen 1316849 1317749 Basisvektor 1317749 1317909 der 1317909 1318029 ?? 1318029 1318429 liegt 1318429 1318689 mir 1318689 1319989 heraus 1319989 1320369 wie 1320369 1321329 viermal 1321329 1321549 E 1321549 1322529 Strichpunkt 1322529 1323429 NL 1323429 1323709 in 1323709 1323989 Art 1323989 1324349 Rennen 1324349 1325669 ist 1325669 1325909 wie 1325909 1326189 viel 1326189 1326629 mal 1326629 1326969 ist 1326969 1327689 Beistrich 1327689 1328129 unten 1328129 1328809 RNA 1328809 1329809 trennen 1329809 1330929 Beistrich 1330929 1331309 oben 1331309 1331969 L 1331969 1332169 da 1332169 1332529 kommt 1332529 1332789 also 1332789 1333269 ebenfalls 1333269 1333649 aus 1333649 1334869 Arstrich 1334869 1336589 oben 1336589 1337249 alternativ 1337249 1337429 kann 1337429 1337529 ich 1337529 1337669 mir 1337669 1337849 auch 1337849 1338329 angucken 1338329 1338569 wie 1338569 1339129 Aden 1339129 1340229 zusammengesetzt 1340229 1341469 ist 1341469 1341829 steht 1341829 1342069 also 1342069 1342089 ?? 1342089 1342689 Beistrich 1342689 1343009 oben 1343009 1343549 L 1343549 1344369 angewendet 1344369 1344829 auf 1344829 1345229 diese 1345229 1347069 Summe 1347069 1347289 nun 1347289 1347449 habe 1347449 1347549 ich 1347549 1347789 einen 1347789 1348669 Covektor 1348669 1349489 angewendet 1349489 1349749 auf 1349749 1350029 eine 1350029 1350689 Summe 1350689 1351249 von 1351249 1352049 Zahlen 1352049 1352329 mal 1352329 1353969 Vektoren 1353969 1354189 das 1354189 1354449 sollte 1354449 1354629 den 1354629 1354889 ja 1354889 1355589 sein 1355589 1355769 die 1355769 1356069 Summe 1356069 1356249 kann 1356249 1356369 ich 1356369 1356769 davor 1356769 1357129 ziehen 1357129 1357329 diese 1357329 1357809 Zahlen 1357809 1357949 kann 1357949 1358069 ich 1358069 1358169 da 1358169 1359269 vorziehen 1359269 1359649 macht 1359649 1360149 also 1360149 1360329 die 1360329 1360709 Summe 1360709 1361009 kann 1361009 1361329 gleich 1361329 1361729 eins 1361729 1362029 bis 1362029 1363189 N 1363189 1363489 A 1363489 1363829 oben 1363829 1364769 K 1364769 1365029 E 1365029 1365749 Strich 1365749 1366069 oben 1366069 1366849 L 1366849 1367549 angewendet 1367549 1367809 auf 1367809 1369289 EK 1369289 1369589 Komma 1369589 1369849 dass 1369849 1370049 es 1370049 1371169 vergleichen 1371169 1371409 mit 1371409 1371509 der 1371509 1372269 Translation 1372269 1372529 von 1372529 1374809 eben 1374809 1375389 kovariant 1375389 1376469 Automationsverhalten 1376469 1376849 steht 1376849 1377809 da 1377809 1377969 ein 1377969 1378289 Vektor 1378289 1378509 aus 1378509 1378769 der 1378769 1379369 alten 1379369 1379889 dualen 1379889 1380649 Basis 1380649 1381489 angewendet 1381489 1381709 auf 1381709 1382089 einen 1382089 1382609 neuen 1382609 1384589 Basisvektor 1384589 1384889 hier 1384889 1385169 aber 1385169 1385389 es 1385389 1385609 genau 1385609 1386829 umgekehrt 1386829 1387009 ein 1387009 1387369 Vektor 1387369 1387609 aus 1387609 1387849 der 1387849 1388569 neuen 1388569 1389129 dualen 1389129 1390029 Basis 1390029 1390629 angewendet 1390629 1390789 auf 1390789 1390969 einen 1390969 1391349 alten 1391349 1392989 Basisvektor 1392989 1393249 das 1393249 1394129 hier 1394129 1394549 ist 1394549 1395429 kontravariant 1395429 1396209 des 1396209 1398629 Translationsverhalten 1398629 1398889 man 1398889 1399789 sagt 1399789 1400069 dass 1400069 1400929 diese 1400929 1401849 Komponenten 1401849 1402129 A 1402129 1402489 oben 1402489 1403169 K 1403169 1404069 kontravariant 1404069 1406169 transformieren 1406169 1407029 und 1407029 1407349 was 1407349 1407789 etwas 1407789 1408269 verwirrend 1408269 1408589 ist 1408589 1408769 man 1408769 1409169 nennt 1409169 1409629 A 1409629 1409989 einen 1409989 1410849 kontravariant 1410849 1413009 Gegenvektor 1413009 1413469 eigentlich 1413469 1413669 ist 1413669 1413769 er 1413769 1413969 nicht 1413969 1414489 wirklich 1414489 1414789 A 1414789 1415889 kontravariant 1415889 1416409 sondern 1416409 1416789 seine 1416789 1417769 Komponenten 1417769 1418549 transformieren 1418549 1420849 kontravariant 1420849 1421089 Komma 1421089 1421209 so 1421209 1421669 gelernt 1421669 1421989 dass 1421989 1422529 die 1422529 1423229 eigentlichen 1423229 1423929 Vektoren 1423929 1424089 die 1424089 1424249 aus 1424249 1424369 dem 1424369 1426389 Originalvektorraum 1426389 1427149 kontravariant 1427149 1428449 sind 1428449 1428669 ihre 1428669 1429789 Komponenten 1429789 1430169 ändern 1430169 1430549 sich 1430549 1431089 gegen 1431089 1431209 die 1431209 1433809 Basis 1434003 1434343 es 1434343 1434563 gibt 1434563 1434783 auch 1434783 1435863 Vektoren 1435863 1436143 deren 1436143 1436783 Komponenten 1436783 1437003 sich 1437003 1437303 mit 1437303 1437543 der 1437543 1438103 Basis 1438103 1439363 ändern 1439363 1439683 nämlich 1439683 1439803 die 1439803 1441183 Korrekturen 1441183 1441423 die 1441423 1441663 aus 1441663 1441803 dem 1441803 1442363 dualen 1442363 1444003 Vektorraum 1444003 1444243 ich 1444243 1444403 so 1444403 1444583 ein 1444583 1445943 Korrektor 1445943 1446283 einmal 1446283 1446463 mit 1446463 1446643 der 1446643 1447623 Originalvase 1447623 1449483 schreibe 1449483 1450803 soundsoviel 1450803 1451503 mal 1451503 1451783 die 1451783 1452543 Vektoren 1452543 1452703 der 1452703 1453203 dualen 1453203 1453823 Basis 1453823 1454003 E 1454003 1454323 oben 1454323 1455703 K 1455703 1455843 und 1455843 1455963 diese 1455963 1456643 Komponenten 1456643 1456943 jene 1456943 1457083 ?? 1457083 1457423 natürlich 1457423 1457563 jetzt 1457563 1458483 sinnvollerweise 1458483 1459063 B 1459063 1459603 unten 1459603 1460623 K 1460623 1460763 und 1460763 1460863 ich 1460863 1461343 schreibe 1461343 1462003 denselben 1462003 1462243 Weg 1462243 1462483 zur 1462483 1462683 auch 1462683 1462803 in 1462803 1463063 einer 1463063 1463543 anderen 1463543 1464923 Basis 1464923 1465763 die 1465763 1466663 Strich 1466663 1467023 oben 1467023 1467883 J 1467883 1468103 und 1468103 1468583 dann 1468583 1469083 analog 1469083 1469323 die 1469323 1470043 Komponenten 1470043 1470623 B 1470623 1471783 Beistrich 1471783 1472263 unten 1472263 1473363 J 1473363 1473543 kann 1473543 1473643 ich 1473643 1473863 jetzt 1473863 1474403 versuchen 1474403 1474543 ein 1474543 1475143 Zusammenhang 1475143 1475543 zwischen 1475543 1475843 diesen 1475843 1476523 BK 1476523 1476723 und 1476723 1476863 den 1476863 1477063 B 1477063 1477543 Strich 1477543 1477783 J 1477783 1478023 zu 1478023 1478883 finden 1478883 1479063 ich 1479063 1479303 werde 1479303 1479503 mal 1479503 1479783 diesen 1479783 1480823 Chorvektor 1480823 1481803 an 1481803 1482603 auf 1482603 1482963 das 1482963 1483423 älteste 1483423 1483983 Element 1483983 1484243 der 1484243 1484683 neuen 1484683 1485323 Basis 1485323 1485583 neue 1485583 1486223 Basis 1486223 1487183 Beistrich 1487183 1487383 dann 1487383 1487503 die 1487503 1487783 Nummer 1487783 1489383 L 1489383 1489523 ich 1489523 1489763 nehme 1489763 1490003 dass 1490003 1490303 diese 1490303 1490683 Form 1490683 1490943 von 1490943 1491743 B 1491743 1492163 entsteht 1492163 1492323 hier 1492323 1492623 also 1492623 1492803 die 1492803 1493863 Summe 1493863 1494223 gleich 1494223 1494583 eins 1494583 1494883 bis 1494883 1495503 einen 1495503 1495883 B 1495883 1496903 Schrägstrich 1496903 1497303 unten 1497303 1498043 J 1498043 1498483 äh 1498483 1500343 Beistrich 1500343 1500683 oben 1500683 1501123 J 1501123 1502523 angewendet 1502523 1503123 auf 1503123 1503383 die 1503383 1503763 Strich 1503763 1504143 unten 1504143 1505863 L 1505863 1506283 nämlich 1506283 1506423 ein 1506423 1506943 Element 1506943 1507703 der 1507703 1508243 dualen 1508243 1508803 Basis 1508803 1509483 angewendet 1509483 1509663 auf 1509663 1509783 ein 1509783 1510143 Element 1510143 1510243 der 1510243 1511343 Originalbasis 1511343 1511543 das 1511543 1511723 war 1511723 1512023 unser 1512023 1513963 Kronecker-Delta 1513963 1514223 wenn 1514223 1514463 ?? 1514463 1514763 gleich 1514763 1514943 L 1514943 1515543 ist 1515543 1515783 kommt 1515783 1515923 ja 1515923 1516203 eins 1516203 1516603 raus 1516603 1516783 wenn 1516783 1517003 J 1517003 1517503 ungleich 1517503 1517843 erlässt 1517843 1518143 kommt 1518143 1518403 null 1518403 1519443 raus 1519443 1519643 ein 1519643 1520103 Element 1520103 1520243 der 1520243 1520703 dualen 1520703 1521583 Basis 1521583 1521883 liegt 1521883 1522323 gerade 1522323 1522963 immer 1522963 1523203 das 1523203 1523563 eine 1523563 1524243 Element 1524243 1524383 was 1524383 1525083 dazugehört 1525083 1525223 aus 1525223 1525323 der 1525323 1525803 normalen 1525803 1526183 Basis 1526183 1527203 heraus 1527203 1527643 das heißt 1527643 1527783 von 1527783 1528003 dieser 1528003 1528303 Summe 1528303 1529163 hierbleibt 1529163 1529503 nur 1529503 1529803 ein 1529803 1530523 einziger 1530523 1530683 so 1530683 1531003 manch 1531003 1531503 übrig 1531503 1531783 nämlich 1531783 1532083 der 1532083 1532263 wohl 1532263 1532643 J 1532643 1533003 gleich 1533003 1533263 L 1533263 1534323 ist 1534323 1534603 steht 1534603 1534783 hier 1534783 1535583 BL 1535583 1536623 Strich 1536623 1537223 mal 1537223 1538363 eins 1538363 1538903 Jahr 1538903 1539163 zu 1539163 1540263 BL 1540263 1541543 Beistrich 1541543 1541703 ich 1541703 1541823 hatte 1541823 1542883 diese 1542883 1543463 Zerlegung 1543463 1544123 angewendet 1544123 1544243 ich 1544243 1544423 kann 1544423 1544563 aber 1544563 1544743 auch 1544743 1544983 diese 1544983 1545563 Zerlegung 1545563 1547103 anwenden 1547103 1547283 dann 1547283 1547623 steht 1547623 1547843 hier 1547843 1548023 das 1548023 1548203 ist 1548203 1548303 die 1548303 1549103 Summe 1549103 1549543 über 1549543 1549883 K 1549883 1550343 gleich 1550343 1550783 eins 1550783 1551143 bis 1551143 1552183 N 1552183 1552463 wie 1552463 1552843 unten 1552843 1553863 K 1553863 1554163 und 1554163 1555283 jetzt 1555283 1555683 oben 1555683 1556583 K 1556583 1557283 angewendet 1557283 1557563 auf 1557563 1557743 E 1557743 1558123 Strich 1558123 1558483 unten 1558483 1559983 hell 1559983 1560223 und 1560223 1560363 es 1560363 1560623 gucken 1560623 1560803 was 1560803 1560923 an 1560923 1561123 was 1561123 1561243 da 1561243 1562523 steht 1562523 1562943 B 1562943 1563763 strichel 1563763 1564023 kann 1564023 1564163 ich 1564163 1564423 also 1564423 1564943 so 1564943 1566563 ausrechnen 1566563 1567203 Bindestrich 1567203 1567563 L 1567563 1568103 kriege 1568103 1569463 ich 1569463 1569643 in 1569643 1569903 dem 1569903 1570663 ich 1570663 1570843 die 1570843 1572563 BK 1572563 1573063 mit 1573063 1573443 diesen 1573443 1573923 Zahlen 1573923 1574643 multiplizieren 1574643 1574803 und 1574803 1574943 dann 1574943 1575203 auf 1575203 1576303 summieren 1576303 1576443 der 1576443 1576923 Vektor 1576923 1577063 der 1577063 1577463 alten 1577463 1577943 dualen 1577943 1578983 Basis 1578983 1580363 Außendirektor 1580363 1580503 der 1580503 1581023 neuen 1581023 1581963 Basis 1581963 1582983 ihnen 1582983 1583323 gucken 1583323 1584603 zurück 1584603 1584943 das 1584943 1585263 ist 1585263 1586143 kovariant 1586143 1586323 ist 1586323 1586423 ein 1586423 1588263 Summationsverhalten 1588263 1588363 der 1588363 1589023 Komponenten 1589023 1589283 eines 1589283 1590203 Korrektors 1590203 1590483 eines 1590483 1590883 Rektors 1590883 1591063 aus 1591063 1591223 dem 1591223 1591743 dualen 1591743 1592823 Vektorraum 1592823 1593423 transformieren 1593423 1594063 also 1594063 1595863 kovariant 1595863 1596243 deshalb 1596243 1596443 nennt 1596443 1596603 man 1596603 1596783 dann 1596783 1596963 diese 1596963 1597523 Vektoren 1597523 1597923 auch 1597923 1598663 kovariant 1598663 1599643 Vektoren 1599643 1599983 obwohl 1599983 1600143 sie 1600143 1600603 eigentlich 1600603 1600743 ihre 1600743 1601523 Komponenten 1601523 1601823 sind 1601823 1601983 die 1601983 1602893 kovariant 1604839 1604979 und 1604979 1605299 jetzt 1605299 1605459 können 1605459 1605599 wir 1605599 1605759 zu 1605759 1605879 den 1605879 1606539 Dingern 1606539 1606779 mit 1606779 1607059 ganz 1607059 1607479 vielen 1607479 1608139 Indices 1608139 1608839 kommen 1608839 1609459 unten 1609459 1609599 wie 1609599 1610179 oben 1610179 1610399 das 1610399 1610559 sind 1610559 1610639 die 1610639 1610999 wahren 1610999 1612579 Zensoren 1612579 1612839 diese 1612839 1613359 Zahlen 1613359 1613779 hier 1613779 1614039 aber 1614039 1614379 oben 1614379 1614719 J 1614719 1615059 und 1615059 1616199 KLM 1616199 1616459 sind 1616459 1616559 die 1616559 1617419 Komponenten 1617419 1617799 eines 1617799 1619319 Tensor 1619319 1619499 und 1619499 1619879 zwar 1619879 1620079 ist 1620079 1620619 der 1620619 1621599 kontravariant 1621599 1621779 von 1621779 1621879 der 1621879 1622219 Stufe 1622219 1623239 zwei 1623239 1623439 und 1623439 1623519 er 1623519 1623799 ist 1623799 1624779 kovariant 1624779 1625019 von 1625019 1625099 der 1625099 1625919 Stufe 1625919 1627419 drei 1627419 1627999 insgesamt 1627999 1628199 hatte 1628199 1628319 die 1628319 1628639 Stufe 1628639 1629899 fünf 1629899 1630099 im 1630099 1630459 englischen 1630459 1630739 heißt 1630739 1631099 Stufe 1631099 1631239 ?? 1631239 1631759 denk 1631759 1631899 was 1631899 1632079 das 1632079 1632319 ganze 1632319 1632539 etwas 1632539 1632979 verwirrend 1632979 1633259 macht 1633259 1633539 weiß 1633539 1633679 aus 1633679 1633799 dem 1633799 1634139 Begriff 1634139 1634579 Rank 1634579 1634779 für 1634779 1634919 eine 1634919 1635379 Matrix 1635379 1636159 gibt 1636159 1636319 der 1636319 1636619 aber 1636619 1636939 komplett 1636939 1637119 was 1637119 1637399 anderes 1637399 1639459 bedeutet 1639459 1639779 so 1639779 1639959 eine 1639959 1640319 Sammlung 1640319 1640539 von 1640539 1641459 Zahlen 1641459 1641679 der 1641679 1641939 Lotto 1641939 1642919 Komponenten 1642919 1643379 mit 1643379 1643959 Indices 1643959 1644239 dran 1644239 1644439 so 1644439 1644639 eine 1644639 1644919 Sammlung 1644919 1645079 von 1645079 1645479 Zahlen 1645479 1645799 heißt 1645799 1646319 dann 1646319 1646959 Komponenten 1646959 1647259 eines 1647259 1648479 Sensors 1648479 1648779 wenn 1648779 1649359 sie 1649359 1649759 richtig 1649759 1651059 transformiert 1651059 1651759 kovariant 1651759 1651899 in 1651899 1652259 jedem 1652259 1652539 dieser 1652539 1653179 Indices 1653179 1653359 und 1653359 1654099 kontravariant 1654099 1654219 in 1654219 1654899 jedem 1654899 1655199 dieser 1655199 1657099 Indices 1657099 1657519 das heißt 1657519 1657699 diese 1657699 1658359 Komponenten 1658359 1658739 müssen 1658739 1658959 in 1658959 1659199 einer 1659199 1659679 anderen 1659679 1660139 Basis 1660139 1660359 dann 1660359 1660659 so 1660659 1661439 aussehen 1661439 1662679 Haarstrich 1662679 1662859 wenn 1662859 1662959 ich 1662959 1663119 die 1663119 1664379 mal 1664379 1664759 oben 1664759 1665439 PQ 1665439 1665859 unten 1665859 1666499 ST 1666499 1666759 für 1666759 1666879 die 1666879 1667099 ganz 1667099 1667359 vielen 1667359 1669439 Indices 1669439 1669739 nehmen 1669739 1669919 die 1669919 1671819 Originalkomponenten 1671819 1672059 I 1672059 1672539 J 1672539 1673039 K 1673039 1673459 L 1673459 1674799 M 1674799 1674919 die 1674919 1675239 sollen 1675239 1675579 jetzt 1675579 1676679 kontravariant 1676679 1676919 in 1676919 1677199 I 1677199 1677559 J 1677559 1678499 sein 1678499 1678819 also 1678819 1679019 muss 1679019 1679179 hier 1679179 1679399 so 1679399 1679839 stehen 1679839 1680019 wir 1680019 1680779 äh 1680779 1681919 Strich 1681919 1682619 von 1682619 1683679 EE 1683679 1683899 für 1683899 1684119 das 1684119 1685199 Sisi 1685199 1685459 muss 1685459 1685619 dann 1685619 1685759 hier 1685759 1686099 unten 1686099 1687079 hin 1687079 1687279 das 1687279 1687459 E 1687459 1688219 Strichmuster 1688219 1688379 ein 1688379 1688639 P 1688639 1689699 haben 1689699 1689939 das 1689939 1690259 macht 1690259 1690719 die 1690719 1691599 kontravariant 1691599 1692479 Transformation 1692479 1692579 in 1692579 1692819 diesem 1692819 1693219 Index 1693219 1693539 I 1693539 1693779 was 1693779 1694679 vorher 1694679 1695419 Normalenvektor 1695419 1696119 hatten 1696119 1696319 und 1696319 1696399 die 1696399 1696719 natürlich 1696719 1696879 noch 1696879 1697079 eine 1697079 1698179 Summe 1698179 1698359 I 1698359 1698899 Gleichheit 1698899 1699119 bis 1699119 1700079 Ende 1700079 1700179 ?? 1700179 1700299 in 1700299 1700519 diesem 1700519 1700959 Index 1700959 1701219 J 1701219 1701419 soll 1701419 1701819 dasselbe 1701819 1702519 passieren 1702519 1703059 also 1703059 1703719 G 1703719 1705439 Schrägstrich 1705439 1706719 J 1706719 1708119 Bindestrich 1708119 1708979 Vektorwortes 1708979 1710219 Kuhn 1710219 1710479 und 1710479 1710559 ich 1710559 1710679 zu 1710679 1710839 mir 1710839 1711119 rüber 1711119 1711319 alle 1711319 1711659 J 1711659 1711899 auch 1711899 1712079 noch 1712079 1712279 von 1712279 1712759 eins 1712759 1712939 bis 1712939 1714379 N 1714379 1715059 kovariant 1715059 1715159 in 1715159 1715839 KLM 1715839 1716279 heißt 1716279 1716579 da 1716579 1716879 brauche 1716879 1716979 ich 1716979 1717239 jetzt 1717239 1717419 noch 1717419 1717619 einen 1717619 1718879 Faktor 1718879 1719059 ?? 1719059 1719239 und 1719239 1719519 hundert 1719519 1719899 weitere 1719899 1720559 Sonderprodukte 1720559 1720659 ?? 1720659 1721179 Ahmadi 1721179 1722119 Marie 1722119 1722279 und 1722279 1722599 Jorge 1722599 1723259 zweiter 1723259 1723359 ?? 1723359 1723959 Produkt 1723959 1724319 äh 1724319 1724479 und 1724479 1724699 jetzt 1724699 1724859 das 1724859 1725479 Strich 1725479 1725739 innen 1725739 1726779 drinnen 1726779 1727399 kovariant 1727399 1728539 halt 1728539 1728739 Komma 1728739 1729279 nachguckt 1729279 1729419 wie 1729419 1730159 kovariant 1730159 1730939 Translation 1730939 1731319 gingen 1731319 1731639 hier 1731639 1731859 gehört 1731859 1732059 das 1732059 1732399 K 1732399 1732619 in 1732619 1732919 dieser 1732919 1734199 Index 1734199 1734519 darüber 1734519 1734739 wird 1734739 1735959 summiert 1735959 1736159 und 1736159 1736299 das 1736299 1736459 was 1736459 1736979 rauskommt 1736979 1737179 das 1737179 1737419 er 1737419 1737739 gehört 1737739 1738499 dahin 1738499 1738979 genauso 1738979 1739179 für 1739179 1739379 S 1739379 1739519 und 1739519 1740499 T 1740499 1741059 beziehungsweise 1741059 1741199 ?? 1741199 1741359 und 1741359 1742019 ähm 1742019 1742179 ihr 1742179 1742379 kommt 1742379 1742559 also 1742559 1742779 das 1742779 1743039 L 1743039 1743399 hin 1743399 1744019 von 1744019 1744639 Ehe 1744639 1745219 strich 1745219 1746039 es 1746039 1746199 und 1746199 1746279 ich 1746279 1746739 studiere 1746739 1746979 auch 1746979 1747139 noch 1747139 1747459 über 1747459 1748459 L 1748459 1748719 kommt 1748719 1749339 das 1749339 1749759 ähm 1749759 1750239 hin 1750239 1750839 von 1750839 1751239 äh 1751239 1752519 Strich 1752519 1753719 T 1753719 1753899 und 1753899 1753999 ich 1753999 1754099 zu 1754099 1754299 mir 1754299 1754799 rüber 1754799 1756399 ähm 1756399 1756619 wenn 1756619 1756719 ich 1756719 1756879 eine 1756879 1757279 Sammlung 1757279 1757419 an 1757419 1759079 Zahlenkomponenten 1759079 1759719 habe 1759719 1759819 die 1759819 1760099 sich 1760099 1760359 so 1760359 1761259 transformiert 1761259 1761479 von 1761479 1761859 einer 1761859 1762319 Basis 1762319 1762499 zur 1762499 1763059 nächsten 1763059 1763519 egal 1763519 1763699 auf 1763699 1763919 welche 1763919 1764359 Basis 1764359 1764519 ich 1764519 1765379 gehe 1765379 1765639 dann 1765639 1765819 ist 1765819 1765999 das 1765999 1766179 ein 1766179 1767839 Tensor 1767839 1768159 dann 1768159 1768999 beschreiben 1768999 1769319 diese 1769319 1769859 Zahlen 1769859 1770319 ein 1770319 1771539 Tensor 1771539 1771799 sowie 1771799 1773179 vorher 1773179 1773319 die 1773319 1773739 Zahlen 1773739 1773899 ein 1773899 1774239 Vektor 1774239 1774799 beschrieben 1774799 1775139 haben 1775139 1775419 schwamm 1775419 1775519 sie 1775519 1775859 dann 1775859 1775999 ein 1775999 1777179 Tensor 1777179 1777359 in 1777359 1777599 diesem 1777599 1777939 Fall 1777939 1778979 kontravariant 1778979 1779359 zweiter 1779359 1779779 Stufe 1779779 1780119 und 1780119 1780779 kovariant 1780779 1781139 dritter 1781139 1783019 Stufe 1783019 1783699 Direktoren 1783699 1783799 ein 1783799 1784759 Spezialfall 1784759 1785439 kontravariant 1785439 1785739 erster 1785739 1786099 Stufe 1786099 1786499 Komma 1786499 1787519 Mutterstufe 1787519 1787719 und 1787719 1788799 umgekehrt 1788799 1789019 und 1789019 1789179 auch 1789179 1789299 die 1789299 1789659 nackten 1789659 1790099 Zahlen 1790099 1790199 die 1790199 1791119 Skala 1791119 1791239 der 1791239 1793219 Spezialfallstufe 1793219 1793519 null 1793519 1793879 Stufe 1793879 1794199 null 1794199 1795179 habe 1795179 1795459 steht 1795459 1795619 hier 1795619 1795959 gar 1795959 1797339 nichts 1797339 1797579 und 1797579 1797679 die 1797679 1798139 Zahl 1798139 1798319 ist 1798319 1798759 dasselbe 1798759 1799099 neun 1799099 1799579 System 1799579 1799719 wie 1799719 1799819 sie 1799819 1799919 im 1799919 1800219 alten 1800219 1800639 System 1800639 1802019 war 1802019 1802219 das 1802219 1802339 ist 1802339 1802499 eine 1802499 1803479 Verallgemeinerung 1803479 1803699 von 1803699 1804319 Skalar 1804319 1804459 und 1804459 1806139 Vektoren 1806139 1806339 und 1806339 1807259 obendrein 1807259 1807499 habe 1807499 1807819 mal 1807819 1808179 ordentlich 1808179 1808379 drüber 1808379 1809079 nachgedacht 1809079 1809239 das 1809239 1809359 es 1809359 1809799 zwei 1809799 1810219 Arten 1810219 1810439 von 1810439 1810919 Vektoren 1810919 1811249 gibt 1812770 1813010 wie 1813010 1813210 kann 1813210 1813370 man 1813370 1813570 nun 1813570 1813830 aus 1813830 1814430 gegebenen 1814430 1815330 Sensoren 1815330 1815750 neue 1815750 1816230 Tensor 1816230 1816450 und 1816450 1817450 bauen 1817450 1817670 oder 1817670 1818230 zum Beispiel 1818230 1818490 aus 1818490 1819930 Vektorensensoren 1819930 1821110 bauen 1821110 1821350 ist 1821350 1821550 auf 1821550 1821770 jeden 1821770 1821930 Fall 1821930 1822130 erst 1822130 1822270 mal 1822270 1824350 addieren 1824350 1824570 wenn 1824570 1824710 ich 1824710 1824990 ein 1824990 1825370 Tensor 1825370 1826430 habe 1826430 1826710 oben 1826710 1827310 KL 1827310 1827750 unten 1827750 1828310 ähm 1828310 1828590 und 1828590 1828850 einen 1828850 1829250 anderen 1829250 1829670 Tensor 1829670 1830950 habe 1830950 1831270 um 1831270 1832210 L 1832210 1832450 und 1832450 1832710 dann 1832710 1833130 unten 1833130 1833430 ähm 1833430 1833610 und 1833610 1833890 oben 1833890 1834350 K 1834350 1835430 zum Beispiel 1835430 1835630 Bild 1835630 1836110 gewürfelt 1836110 1836330 kann 1836330 1836430 ich 1836430 1836550 die 1836550 1837610 addieren 1837610 1837850 und 1837850 1838110 kriege 1838110 1838370 wieder 1838370 1838550 ein 1838550 1839090 Tensor 1839090 1839190 die 1839190 1839470 Summe 1839470 1839650 wird 1839650 1840010 dasselbe 1840010 1841110 Transmissionsverhalten 1841110 1842070 haben 1842070 1842390 natürlich 1842390 1842630 nicht 1842630 1842650 ?? 1842650 1842830 mir 1842830 1843410 zum Beispiel 1843410 1844210 ein 1844210 1844590 Index 1844590 1845090 fehlt 1845090 1845290 das 1845290 1845510 würde 1845510 1845710 nicht 1845710 1846890 funktionieren 1846890 1847070 ich 1847070 1847330 muss 1847330 1848150 gleichartige 1848150 1848710 Zensoren 1848710 1849530 haben 1849530 1849770 dann 1849770 1850070 kriege 1850070 1850210 ich 1850210 1850610 damit 1850610 1850850 einen 1850850 1851210 neuen 1851210 1851830 Tensor 1851830 1852590 zum Beispiel 1852590 1852770 A 1852770 1853550 K 1853550 1854330 L 1854330 1854730 oben 1854730 1854910 und 1854910 1855250 unten 1855250 1856810 ähm 1856810 1857030 das 1857030 1857170 ist 1857170 1857330 eine 1857330 1858190 Verallgemeinerung 1858190 1858310 der 1858310 1859090 Vektoraddition 1860637 1860797 ich 1860797 1860977 kann 1860977 1861157 den 1861157 1861677 Sohn 1861677 1863297 multiplizieren 1863297 1863557 wenn 1863557 1863697 ich 1863697 1864577 einen 1864577 1864957 Tensor 1864957 1866217 habe 1866217 1866577 ähm 1866577 1867137 oben 1867137 1867417 K 1867417 1868237 unten 1868237 1868597 und 1868597 1869757 modifizieren 1869757 1870257 jede 1870257 1870477 von 1870477 1870657 diesen 1870657 1871637 Komponenten 1871637 1872857 mit 1872857 1872997 der 1872997 1873737 Komponente 1873737 1874477 F 1874477 1874717 L 1874717 1875177 oben 1875177 1875417 eines 1875417 1875777 anderen 1875777 1876297 Tänzers 1876297 1876857 offensichtlich 1876857 1877197 ein 1877197 1877957 kontrollierter 1877957 1878277 Vektor 1878277 1879417 hier 1879417 1879857 kriege 1879857 1881097 ich 1881097 1881337 ein 1881337 1882077 Ding 1882077 1882277 das 1882277 1882417 sich 1882417 1884457 transformiert 1884457 1884657 wie 1884657 1884797 ein 1884797 1885897 Tensor 1885897 1886317 unten 1886317 1886657 K 1886657 1887057 oben 1887057 1887717 L 1887717 1888017 oben 1888017 1889537 ?? 1889537 1889737 ich 1889737 1889897 kann 1889897 1890057 auch 1890057 1890457 einzelne 1890457 1890997 Vektoren 1890997 1891297 nehmen 1891297 1892097 zum Beispiel 1892097 1892297 ein 1892297 1893037 kontravariant 1893037 1893477 Vektor 1893477 1894537 H 1894537 1895557 mal 1895557 1895837 einen 1895837 1897157 Covariantenvektor 1897157 1897617 ähm 1897617 1897857 mal 1897857 1898077 ein 1898077 1898877 kontravariant 1898877 1899277 Vektor 1899277 1900817 J 1900817 1901017 und 1901017 1902297 kriege 1902297 1902597 einen 1902597 1903097 Tensor 1903097 1903317 von 1903317 1903437 der 1903437 1904817 Sorte 1904817 1905117 um 1905117 1906217 Car 1906217 1906557 oben 1906557 1906997 L 1906997 1907397 unten 1907397 1908097 ähm 1908097 1908637 extra 1908637 1908777 ?? 1908777 1908917 und 1908917 1909257 immer 1909257 1909777 vertauscht 1909777 1909877 um 1909877 1910477 klarzumachen 1910477 1910637 dass 1910637 1910737 die 1910737 1911437 Reihenfolge 1911437 1911597 der 1911597 1912677 Indices 1912677 1912877 noch 1912877 1913017 ein 1913017 1913297 Thema 1913297 1913457 für 1913457 1913717 sich 1913717 1914017 ist 1915828 1916068 das 1916068 1916288 hier 1916288 1916868 wäre 1916868 1917108 was 1917108 1917248 man 1917248 1917528 als 1917528 1918348 Tensorprodukt 1918348 1918588 von 1918588 1919308 Vektoren 1919308 1920668 bezeichnet 1920668 1920888 dieses 1920888 1921208 Produkt 1921208 1921388 von 1921388 1922128 Sensoren 1922128 1922368 ist 1922368 1922528 eine 1922528 1923328 Verallgemeinerung 1923328 1924688 davon 1924688 1924848 und 1924848 1924968 es 1924968 1925088 ist 1925088 1925268 eine 1925268 1925988 Verallgemeinerung 1925988 1926148 des 1926148 1926508 üblichen 1926508 1926848 Produkts 1926848 1927648 bezahlen 1927648 1927808 wenn 1927808 1927908 ich 1927908 1928068 eine 1928068 1928468 einfache 1928468 1928848 Zahl 1928848 1930028 habe 1930028 1931188 mal 1931188 1931448 eine 1931448 1931688 etwas 1931688 1932308 kompliziertere 1932308 1932828 Tensor 1932828 1933128 er 1933128 1933928 es 1933928 1934428 unten 1934428 1934828 Komma 1934828 1935568 oben 1935568 1935748 und 1935748 1935888 noch 1935888 1936048 ein 1936048 1937508 Tensor 1937508 1937708 P 1937708 1938668 unten 1938668 1938888 dann 1938888 1939268 kommt 1939268 1940428 hier 1940428 1940688 auch 1940688 1940888 wieder 1940888 1941008 ein 1941008 1941388 Tensor 1941388 1942348 aus 1942348 1942468 der 1942468 1942748 Zeit 1942748 1943168 der 1943168 1943408 vier 1943408 1943508 in 1943508 1943608 die 1943608 1944088 CS 1944088 1944288 und 1944288 1944768 die 1944768 1945088 können 1945088 1945648 Zweifelsfall 1945648 1945828 auch 1945828 1946228 andersrum 1946228 1946948 stehen 1946948 1947248 muss 1947248 1948448 aufpassen 1948448 1948588 wie 1948588 1948748 sie 1948748 1949248 gerade 1949248 1949688 gemeint 1949688 1951368 sind 1951368 1951548 der 1951548 1951888 Tensor 1951888 1952008 der 1952008 1953188 rauskommt 1953188 1953368 hat 1953368 1953588 auch 1953588 1953888 wieder 1953888 1954008 die 1954008 1954608 Indices 1954608 1955168 ESP 1955168 1956208 unten 1956208 1956488 Q 1956488 1957288 oben 1957288 1957528 aber 1957528 1958048 zweifelsohne 1958048 1958248 muss 1958248 1958368 man 1958368 1958948 aufpassen 1958948 1959168 welche 1959168 1959848 Reihenfolge 1959848 1961488 widerstehen 1961488 1961648 die 1961648 1961908 können 1961908 1962428 zum Beispiel 1962428 1962628 so 1962628 1962938 steht 1964528 1964768 und 1964768 1964908 dann 1964908 1965228 gibt's 1965228 1965468 noch 1965468 1965948 die 1965948 1967668 Kontraktion 1967668 1967928 das 1967928 1968028 ist 1968028 1968128 die 1968128 1968968 Verallgemeinerung 1968968 1969268 von 1969268 1969788 dem 1969788 1970108 womit 1970108 1970248 wir 1970248 1970728 gestartet 1970728 1971008 sind 1971008 1971828 Zeilenvektor 1971828 1972048 mal 1972048 1972768 Spaltenvektor 1972768 1973028 gibt 1973028 1973228 eine 1973228 1975068 Zahl 1975068 1975508 geben 1975508 1975628 ein 1975628 1976088 Tensor 1976088 1976248 mit 1976248 1976528 zwei 1976528 1977068 Indices 1977068 1978188 unten 1978188 1978768 geben 1978768 1979248 ein 1979248 1980068 Vektor 1980068 1980288 mit 1980288 1980568 einem 1980568 1981008 Index 1981008 1981848 oben 1981848 1982088 kann 1982088 1982508 ich 1982508 1982908 einen 1982908 1983348 Index 1983348 1983828 runden 1983828 1983988 und 1983988 1984288 einen 1984288 1984648 Index 1984648 1984968 oben 1984968 1986588 gleichsetzen 1986588 1986748 und 1986748 1987108 darüber 1987108 1988548 summieren 1988548 1988848 und 1988848 1989768 kriege 1989768 1989928 in 1989928 1990168 diesem 1990168 1990608 Fall 1990608 1990748 nur 1990748 1990908 noch 1990908 1991068 ein 1991068 1991508 Vektor 1991508 1991888 raus 1991888 1992128 das 1992128 1992748 K 1992748 1992968 ist 1992968 1993428 raus 1993428 1993548 ich 1993548 1993828 kriege 1993828 1994128 noch 1994128 1994348 ein 1994348 1994768 Vektor 1994768 1995028 ein 1995028 1996428 Covariantenvektor 1996428 1996688 diesem 1996688 1997728 Fall 1997728 1997948 oder 1997948 1998168 etwas 1998168 1999488 komplizierter 1999488 1999728 ich 1999728 2000008 nehme 2000008 2000208 einen 2000208 2000768 Tensor 2000768 2001328 mit 2001328 2001788 zwei 2001788 2002388 Indices 2002388 2003648 unten 2003648 2003988 zwei 2003988 2004568 Indices 2004568 2005148 oben 2005148 2005368 und 2005368 2005648 ein 2005648 2006148 Tensor 2006148 2006548 mit 2006548 2007048 einem 2007048 2007548 Index 2007548 2008448 oben 2008448 2008788 zwei 2008788 2009368 Indices 2009368 2011048 unten 2011048 2011348 nehme 2011348 2011908 vielleicht 2011908 2012348 diesen 2012348 2012808 Index 2012808 2013168 hier 2013168 2013528 und 2013528 2013968 den 2013968 2014788 Index 2014788 2015028 für 2015028 2015128 die 2015128 2016648 Kontraktion 2016648 2016868 und 2016868 2017108 auch 2017108 2017488 diesen 2017488 2017968 Index 2017968 2018128 und 2018128 2018688 den 2018688 2018868 am 2018868 2019468 selben 2019468 2020408 Tensor 2020408 2020588 eine 2020588 2021248 Kontraktion 2021248 2021368 zu 2021368 2021628 mir 2021628 2021868 über 2021868 2022128 diese 2022128 2022608 beiden 2022608 2022908 also 2022908 2023128 über 2023128 2024128 PE 2024128 2024448 und 2024448 2024648 über 2024648 2025788 Kuhn 2025788 2025968 und 2025968 2026068 die 2026068 2026308 anderen 2026308 2026488 das 2026488 2026608 ich 2026608 2027508 über 2027508 2027708 ?? 2027708 2027988 hier 2027988 2029368 K 2029368 2030228 M 2030228 2030548 und 2030548 2030928 L 2030928 2031128 dann 2031128 2031428 kommt 2031428 2031588 ein 2031588 2031988 Tensor 2031988 2032408 raus 2032408 2032628 von 2032628 2032728 der 2032728 2033248 Form 2033248 2034588 S 2034588 2035008 K 2035008 2035768 L 2035768 2036308 unten 2036308 2036668 oben 2036668 2037288 ähm 2037288 2037488 oder 2037488 2037628 je 2037628 2037808 nach 2037808 2038508 Definition 2038508 2038668 was 2038668 2038808 man 2038808 2039068 gerade 2039068 2039628 baut 2039628 2040188 vielleicht 2040188 2040308 auch 2040308 2040468 das 2040468 2040688 im 2040688 2040788 an 2040788 2040888 der 2040888 2041188 ersten 2041188 2041468 Stelle 2041468 2041728 auf 2041728 2041948 jeden 2041948 2042148 Fall 2042148 2044188 oben 2044188 2044408 oder 2044408 2044708 ganz 2044708 2045228 schlicht 2045228 2045408 ich 2045408 2045708 nehme 2045708 2045988 einen 2045988 2046868 kovariant 2046868 2047488 Tensor 2047488 2048588 mit 2048588 2049348 Komponenten 2049348 2049568 B 2049568 2049888 und 2049888 2050428 K 2050428 2051328 einen 2051328 2052188 kontravariant 2052188 2052728 Tensor 2052728 2053408 mit 2053408 2054248 Komponenten 2054248 2054548 oben 2054548 2055188 kam 2055188 2055348 zu 2055348 2055588 mir 2055588 2055848 rüber 2055848 2056068 das 2056068 2057368 K 2057368 2057608 und 2057608 2057888 habe 2057888 2058148 einen 2058148 2058588 Zahl 2058588 2058948 raus 2058948 2059128 ein 2059128 2059708 Skalar 2059708 2060008 oder 2060008 2060148 ein 2060148 2060648 Tensor 2060648 2060928 oder 2060928 2062308 Stufe 2062308 2062508 da 2062508 2062768 kommt 2062768 2062928 das 2062928 2063268 ganze 2063268 2063688 eigentlich 2063688 2065088 her 2065088 2066068 Fußnote 2066068 2066428 streng 2066428 2066868 genommen 2066868 2067048 ist 2067048 2067428 also 2067428 2067668 das 2067668 2067888 was 2067888 2068468 hier 2068468 2069368 dem 2069368 2069568 P 2069568 2070228 passiert 2070228 2070448 eine 2070448 2071388 Kontraktion 2071388 2071608 ein 2071608 2071708 und 2071708 2072068 derselbe 2072068 2072328 denn 2072328 2072468 so 2072468 2072928 wird 2072928 2073088 um 2073088 2073348 zwei 2073348 2073748 Stufen 2073748 2075288 runtergesetzt 2075288 2075528 was 2075528 2075688 ist 2075688 2075968 eigentlich 2075968 2076048 die 2076048 2076728 Kontraktion 2076728 2076928 ?? 2076928 2077048 ich 2077048 2077248 hab 2077248 2077608 hier 2077608 2078028 schon 2078028 2078768 stillschweigend 2078768 2079328 das 2079328 2079928 Tensorprodukt 2079928 2080088 mit 2080088 2081028 eingebaut 2081028 2081368 werde 2081368 2081528 das 2081528 2082328 Tensorprodukt 2082328 2082528 und 2082528 2083248 kontrahieren 2083248 2083408 das 2083408 2085208 Tensorprodukt 2085208 2085408 das 2085408 2085488 es 2085488 2086548 Formalkram 2086548 2086888 mache 2086888 2087148 weiß 2087148 2087328 man 2087328 2087608 einfach 2087608 2088168 weitermachen 2088168 2088348 kann 2088348 2088508 mit 2088508 2088648 den 2088648 2089468 Zensoren 2089468 2089668 man 2089668 2089868 kann 2089868 2089968 sie 2089968 2090428 miteinander 2090428 2091208 modifizieren 2091208 2091368 wenn 2091368 2091468 die 2091468 2091928 Indices 2091928 2092368 alle 2092368 2092848 verschieden 2092848 2093308 bleiben 2093308 2093768 unabhängig 2093768 2094068 bleiben 2094068 2095048 voneinander 2095048 2095388 oder 2095388 2095608 man 2095608 2095828 kann 2095828 2096208 zwei 2096208 2096708 Indices 2096708 2097468 gleichsetzen 2097468 2097768 einen 2097768 2098148 oben 2098148 2098448 einen 2098448 2098848 unten 2098848 2099228 egal 2099228 2099468 wo 2099468 2099688 und 2099688 2100008 über 2100008 2100288 diesen 2100288 2100948 Index 2100948 2101168 dann 2101168 2102688 summieren 2102688 2102888 und 2102888 2103008 weil 2103008 2103128 das 2103128 2103228 so 2103228 2103468 häufig 2103468 2103948 vorkommt 2103948 2104148 das 2104148 2104768 summieren 2104768 2104968 über 2104968 2105328 gleiche 2105328 2105888 Indices 2105888 2106148 oben 2106148 2106288 und 2106288 2107208 unten 2107208 2107448 gibt 2107448 2107848 die 2107848 2108468 Einsteinsche 2108468 2110708 Summenkonvention 2110708 2110888 das 2110888 2111028 man 2111028 2111308 sagt 2111308 2111428 wir 2111428 2111848 schreiben 2111848 2112028 diese 2112028 2112308 Summen 2112308 2112508 gar 2112508 2112688 nicht 2112688 2112868 hin 2112868 2113088 das 2113088 2113368 nervt 2113368 2113508 ja 2113508 2114468 nur 2114468 2114708 wenn 2114708 2114928 ein 2114928 2115288 Index 2115288 2115568 unten 2115568 2115928 steht 2115928 2116048 und 2116048 2116448 derselbe 2116448 2116788 Index 2116788 2117068 steht 2117068 2117588 oben 2117588 2117748 dann 2117748 2118068 heißt 2118068 2118208 das 2118208 2118748 gefälligst 2118748 2119168 darüber 2119168 2119428 wird 2119428 2120608 summiert 2120608 2120808 und 2120808 2120988 im 2120988 2121548 Ergebnis 2121548 2121828 stieg 2121828 2121968 der 2121968 2122308 Index 2122308 2124188 daraus 2124188 2124468 noch 2124468 2124628 eine 2124628 2126008 Konvention 2126008 2126188 für 2126188 2126308 die 2126308 2126948 Indices 2126948 2127448 griechische 2127448 2128128 Buchstaben 2128128 2128508 sind 2128508 2128808 Alpha 2128808 2129128 Beta 2129128 2130528 Gammalander 2130528 2131368 Menü 2131368 2131668 auch 2131668 2132608 gerne 2132608 2132828 dann 2132828 2133088 heißt 2133088 2133208 das 2133208 2133908 stillschweigend 2133908 2134068 dass 2134068 2134148 die 2134148 2134368 von 2134368 2134588 null 2134588 2134808 bis 2134808 2135088 drei 2135088 2135588 laufen 2135588 2135788 null 2135788 2135988 für 2135988 2136088 die 2136088 2137388 Zeitkomponente 2137388 2137688 eins 2137688 2137848 für 2137848 2137928 die 2137928 2138268 X 2138268 2138588 zwei 2138588 2138748 für 2138748 2138868 die 2138868 2139228 Psalmen 2139228 2139348 und 2139348 2139548 drei 2139548 2139728 für 2139728 2139808 die 2139808 2140758 Zeitkomponente 2142742 2143022 ein 2143022 2143782 Beispiel 2143782 2144142 der 2144142 2145402 Drehimpulstensor 2145402 2145642 erst 2145642 2145762 mal 2145762 2145862 der 2145862 2146322 klassische 2146322 2147922 Drehimpuls 2147922 2148082 der 2148082 2148322 Hass 2148322 2148742 gerne 2148742 2150282 groß L 2150282 2150482 und 2150482 2150762 ist 2150762 2151442 Ortsvektor 2151442 2151922 eher 2151922 2153582 Kreuzimpulsvektor 2153582 2154442 P 2154442 2154822 also 2154822 2155202 in 2155202 2155862 Komponenten 2155862 2156382 geschrieben 2156382 2156582 X 2156582 2157062 Y 2157062 2157882 Z 2157882 2159502 Kreuzeckskomponente 2159502 2159662 vom 2159662 2160262 Impuls 2160262 2160882 Y 2160882 2161482 und 2161482 2161742 Z 2161742 2162302 Komponente 2162302 2162522 vom 2162522 2163822 Impuls 2163822 2164242 macht 2164242 2165542 also 2165542 2166202 Y 2166202 2166382 hat 2166382 2167482 PZ 2167482 2167942 minus 2167942 2168202 Z 2168202 2168462 mal 2168462 2169542 Y 2169542 2169762 und 2169762 2169862 in 2169862 2169962 der 2169962 2170322 Y 2170322 2171022 Komponente 2171022 2171442 Z 2171442 2171682 mal 2171682 2171882 P 2171882 2172902 X 2172902 2173322 minus 2173322 2173542 X 2173542 2173702 mal 2173702 2175182 BZ 2175182 2175682 und 2175682 2175802 in 2175802 2175902 der 2175902 2176162 Z 2176162 2177482 Komponente 2177482 2177782 X 2177782 2178122 Mappe 2178122 2179002 Y 2179002 2179342 Lines 2179342 2179742 Y 2179742 2181842 Akte X 2181842 2182262 dieses 2182262 2182462 muss 2182462 2182542 in 2182542 2182782 vier 2182782 2183422 Dimensionen 2183422 2183822 auch 2183822 2184482 irgendwie 2184482 2185342 gehen 2185342 2185502 der 2185502 2185782 Ärger 2185782 2185962 ist 2185962 2186102 das 2186102 2186282 meine 2186282 2186502 vier 2186502 2187062 Dimensionen 2187062 2187402 kann 2187402 2188262 Vektorprodukt 2188262 2188402 mehr 2188402 2189782 hat 2189782 2189962 das 2189962 2190522 verbrauchen 2190522 2190762 ist 2190762 2191522 sowas 2191522 2192542 antisymmetrisch 2192542 2193522 es 2193522 2193782 wenn 2193782 2193962 ich 2193962 2194402 die 2194402 2195162 Komponenten 2195162 2195982 austausche 2195982 2196122 im 2196122 2197762 Original 2197762 2197922 dann 2197922 2198182 muss 2198182 2198862 hier 2198862 2199042 das 2199042 2199522 negative 2199522 2200162 rauskommen 2200162 2200702 Y 2200702 2201562 Z 2201562 2201902 Z 2201902 2203162 Y 2203162 2203362 mit 2203362 2203502 einer 2203502 2204202 Minuszeichen 2204202 2205962 dazwischen 2205962 2206202 man 2206202 2206542 probiert 2206542 2207202 folgendes 2207202 2207342 ich 2207342 2207842 nehme 2207842 2209182 X 2209182 2209622 oben 2209622 2210702 Mühe 2210702 2211322 PO 2211322 2212162 Mühl 2212162 2212722 minus 2212722 2212902 das 2212902 2213782 umgekehrte 2213782 2214082 X 2214082 2214582 Rom 2214582 2216242 Mühlfee 2216242 2216602 oben 2216602 2218022 Mühl 2218022 2218282 hier 2218282 2219022 steht 2219022 2219222 das 2219222 2219962 Tensorprodukt 2219962 2220602 zweier 2220602 2221242 kontravariant 2221242 2221942 Direktoren 2221942 2222142 ihr 2222142 2222462 steht 2222462 2223382 auch 2223382 2223522 das 2223522 2224222 Tensorprodukt 2224222 2224482 zweier 2224482 2225162 kontravariant 2225162 2225762 Direktoren 2225762 2225862 die 2225862 2226162 beiden 2226162 2226422 darf 2226422 2226902 voneinander 2226902 2227882 abziehen 2227882 2228062 gibt 2228062 2228242 schon 2228242 2228482 wieder 2228482 2228702 ein 2228702 2230042 Tensor 2230042 2230622 dienten 2230622 2230922 solche 2230922 2231242 nennt 2231242 2231482 man 2231482 2231962 el 2231962 2232302 oben 2232302 2232382 im 2232382 2233402 Menü 2233402 2233562 der 2233562 2235502 Drehimpulstensor 2235502 2235662 ein 2235662 2237182 Tensor 2237182 2237662 zweiter 2237662 2238782 Stufe 2238782 2240002 kontravariant 2240002 2240262 sowie 2240262 2240502 Sinn 2240502 2240942 geschrieben 2240942 2241642 habe 2241642 2241942 und 2241942 2242102 er 2242102 2242302 es 2242302 2242802 obendrein 2242802 2243882 antisymmetrisch 2243882 2244042 wenn 2244042 2244182 ich 2244182 2244462 diese 2244462 2244962 Indices 2244962 2245602 vertauschen 2245602 2246962 Million 2246962 2247262 ändere 2247262 2247342 ich 2247342 2247522 das 2247522 2248222 Vorzeichen 2248222 2248342 ist 2248342 2248482 es 2248482 2248682 also 2248682 2248982 gleich 2248982 2254682 Minuselmühlmilmühl 2254682 2254982 läuft 2254982 2255182 von 2255182 2255362 null 2255362 2255602 bis 2255602 2255962 drei 2255962 2256082 ?? 2256082 2256522 läuft 2256522 2256722 von 2256722 2256902 null 2256902 2257122 bis 2257122 2257442 drei 2257442 2257582 ich 2257582 2257722 hab 2257722 2257942 vier 2257942 2258122 mal 2258122 2258342 vier 2258342 2258902 sechzehn 2258902 2259502 zahlen 2259502 2259982 sechzehn 2259982 2260862 Komponenten 2260862 2261062 sind 2261062 2261242 das 2261242 2262122 hier 2262122 2262382 könnte 2262382 2262522 man 2262522 2262682 als 2262682 2263222 Matrix 2263222 2263342 in 2263342 2263702 mal 2263702 2263942 mit 2263942 2264122 vier 2264122 2264282 mal 2264282 2264482 vier 2264482 2265862 Einträgen 2265862 2266202 schreib 2266202 2266342 das 2266342 2266502 mal 2266502 2266682 so 2266682 2266942 auf 2266942 2267142 das 2267142 2267262 in 2267262 2267602 diese 2267602 2267942 Richtung 2267942 2268062 der 2268062 2268542 Index 2268542 2268982 Mühen 2268982 2269602 läuft 2269602 2270182 null 2270182 2270602 eins 2270602 2270962 zwei 2270962 2272042 drei 2272042 2272202 und 2272202 2272402 das 2272402 2272502 in 2272502 2272982 diese 2272982 2273382 Richtung 2273382 2273502 der 2273502 2274002 Index 2274002 2274502 Menü 2274502 2275522 läuft 2275522 2275922 null 2275922 2276262 eins 2276262 2276582 zwei 2276582 2277682 drei 2277682 2277982 ?? 2277982 2278162 in 2278162 2278262 die 2278262 2278542 beiden 2278542 2278902 gleich 2278902 2279922 sind 2279922 2280262 gleich 2280262 2280542 null 2280542 2280742 null 2280742 2281082 gleich 2281082 2281282 Null 2281282 2282442 zum Beispiel 2282442 2282762 X 2282762 2283162 oben 2283162 2283442 null 2283442 2283942 PO 2283942 2284262 null 2284262 2285162 minus 2285162 2285442 X 2285442 2285762 oben 2285762 2286102 OP 2286102 2286362 oben 2286362 2286722 null 2286722 2287062 kommt 2287062 2287442 null 2287442 2288482 raus 2288482 2288802 Beistrich 2288802 2289062 auch 2289062 2289322 nur 2289322 2289702 raus 2289702 2290482 da 2290482 2290722 da 2290722 2291022 kommt 2291022 2291322 nur 2291322 2292082 aus 2292082 2292362 lauter 2292362 2292722 Nullen 2292722 2292882 auf 2292882 2293002 der 2293002 2294102 Diagonalen 2294102 2294262 das 2294262 2294442 muss 2294442 2294962 automatisch 2294962 2295082 zu 2295082 2295362 sein 2295362 2295682 schönen 2295682 2296282 symmetrischen 2296282 2297342 Tensor 2297342 2297562 wenn 2297562 2297762 mir 2297762 2298102 gleich 2298102 2298642 eins 2298642 2299502 ist 2299502 2299722 und 2299722 2300002 mir 2300002 2300302 gleich 2300302 2300942 zwei 2300942 2301942 Test 2301942 2302282 habe 2302282 2302422 ich 2302422 2302682 hier 2302682 2303082 X 2303082 2303442 oben 2303442 2303882 eins 2303882 2304142 dass 2304142 2304282 die 2304282 2304542 X 2304542 2305482 Komponente 2305482 2305702 nicht 2305702 2305722 ?? 2305722 2306042 müssen 2306042 2306242 nicht 2306242 2306562 selbst 2306562 2306702 und 2306702 2306902 nicht 2306902 2307842 Zeit 2307842 2307982 die 2307982 2309102 Exkomponente 2309102 2309262 und 2309262 2309562 hier 2309562 2309962 habe 2309962 2310802 ich 2310802 2311342 die 2311342 2311982 zweite 2311982 2312402 Y 2312402 2313702 Komponente 2313702 2313882 und 2313882 2314482 hier 2314482 2315922 umgekehrt 2315922 2316182 hier 2316182 2316482 steht 2316482 2317662 also 2317662 2318462 XP 2318462 2319282 Y 2319282 2319942 minus 2319942 2321402 Y 2321402 2321622 P 2321622 2322822 X 2322822 2323042 will 2323042 2323562 sagen 2323562 2323722 die 2323722 2324142 Z 2324142 2324882 Komponente 2324882 2325082 vom 2325082 2326942 Drehimpuls 2326942 2327322 genauso 2327322 2327482 kann 2327482 2327602 man 2327602 2327722 sich 2327722 2328302 klarmachen 2328302 2328502 dass 2328502 2328802 hier 2328802 2329042 die 2329042 2329342 X 2329342 2329962 Komponente 2329962 2330182 vom 2330182 2330782 Drehimpuls 2330782 2331182 stehen 2331182 2331842 wird 2331842 2332102 und 2332102 2332362 hier 2332362 2332922 wird 2332922 2333662 minus 2333662 2333762 die 2333762 2334162 Y 2334162 2334982 Komponente 2334982 2335182 von 2335182 2335702 Reports 2335702 2336942 stehen 2336942 2337382 unter 2337382 2337502 der 2337502 2338782 Diagonalen 2338782 2339002 steht 2339002 2339422 dasselbe 2339422 2339502 ?? 2339502 2340162 oberhalb 2340162 2340402 nur 2340402 2340582 mit 2340582 2340822 einem 2340822 2342402 Minuszeichen 2342402 2342702 nicht 2342702 2342782 die 2342782 2343162 beiden 2343162 2343602 Indices 2343602 2344422 vertausche 2344422 2344702 konnte 2344702 2344882 das 2344882 2345402 negative 2345402 2345842 Haus 2345842 2346042 ein 2346042 2346862 antisemitischer 2346862 2347902 Tensor 2347902 2348082 und 2348082 2348282 hier 2348282 2348702 oben 2348702 2348822 in 2348822 2349442 der 2349442 2349882 Zeile 2349882 2350182 Nummer 2350182 2350682 null 2350682 2350862 vier 2350862 2351302 links 2351302 2351442 in 2351442 2351882 der 2351882 2352442 Spalte 2352442 2352742 Nummer 2352742 2353422 null 2353422 2353442 ?? 2353442 2353702 gibt's 2353702 2353862 noch 2353862 2354082 was 2354082 2355042 neues 2355042 2355542 auffälliges 2355542 2355742 kann 2355742 2355882 ich 2355882 2357162 eingehen 2357162 2357382 mir 2357382 2357722 ging's 2357722 2357902 nur 2357902 2358182 drum 2358182 2358982 hier 2358982 2359082 ?? 2359082 2359782 vorzuführen 2359782 2359862 wie 2359862 2360102 man 2360102 2360482 nun 2360482 2360702 aus 2360702 2361282 einfachen 2361282 2361942 Vektoren 2361942 2362442 ein 2362442 2362862 Tensor 2362862 2363222 bauen 2363222 2365262 kann 2365262 2365522 jetzt 2365522 2365802 gerne 2365802 2366422 zurück 2366422 2366642 zur 2366642 2367022 Gleichung 2367022 2367202 vom 2367202 2367982 Anfang 2367982 2368262 was 2368262 2368522 hat 2368522 2369162 das 2369162 2369402 zu 2369402 2370012 bedeuten 2371720 2371940 zu 2371940 2372160 aller 2372160 2372980 erst 2372980 2373140 wenn 2373140 2373400 hier 2373400 2373620 ein 2373620 2373960 Index 2373960 2374320 better 2374320 2375000 unten 2375000 2375160 an 2375160 2375500 Index 2375500 2375920 better 2375920 2376680 oben 2376680 2377000 hier 2377000 2377360 gilt 2377360 2377620 die 2377620 2379420 Summationskonvention 2379420 2379580 und 2379580 2380000 zwar 2380000 2380220 von 2380220 2380460 null 2380460 2380760 bis 2380760 2381780 drei 2381780 2382240 griechische 2382240 2382720 PCs 2382720 2383280 laufen 2383280 2383500 von 2383500 2383680 null 2383680 2383860 bis 2383860 2384960 drei 2384960 2385200 ihr 2385200 2386220 steht 2386220 2386480 links 2386480 2386740 oben 2386740 2387460 Wetter 2387460 2387600 der 2387600 2387920 ganz 2387920 2388400 normale 2388400 2388820 Vierer 2388820 2390500 Ortsvektor 2390500 2390900 genauer 2390900 2391260 gesagt 2391260 2391720 die 2391720 2392540 Komponenten 2392540 2392700 des 2392700 2392960 vier 2392960 2394280 Ortsvektor 2394280 2394400 die 2394400 2394580 sind 2394580 2395080 automatisch 2395080 2395260 dann 2395260 2395500 auch 2395500 2396340 kontravariant 2396340 2396580 das 2396580 2396740 ist 2396740 2396860 ja 2396860 2398980 Normalenvektor 2398980 2399120 hier 2399120 2399340 haben 2399340 2399460 wir 2399460 2399600 den 2399600 2401480 Feldstärketensor 2401480 2401620 und 2401620 2401760 der 2401760 2401960 ist 2401960 2402780 so 2402780 2403100 wir 2403100 2403480 hier 2403480 2404420 steht 2404420 2405860 kovariant 2405860 2406200 zweite 2406200 2407420 Stufe 2407420 2407680 das 2407680 2408000 Q 2408000 2408100 die 2408100 2408560 Ladung 2408560 2408700 ist 2408700 2408800 ein 2408800 2409000 ganz 2409000 2409300 schlichter 2409300 2410800 Skalar 2410800 2411000 eine 2411000 2411280 reine 2411280 2412900 Zahl 2412900 2413020 und 2413020 2413280 hier 2413280 2413560 steht 2413560 2414060 vorne 2414060 2414220 als 2414220 2414840 Ergebnis 2414840 2415060 die 2415060 2415660 Ableitung 2415660 2415880 vom 2415880 2417380 Viererimpuls 2417380 2417800 allerdings 2417800 2418020 wieder 2418020 2418240 hier 2418240 2418460 als 2418460 2419140 kovariant 2419140 2419240 der 2419240 2419680 Vektor 2419680 2419860 dass 2419860 2419960 es 2419960 2420140 noch 2420140 2420440 Thema 2420440 2420640 für 2420640 2421660 sich 2421660 2421860 das 2421860 2422180 kommt 2422180 2422880 demnächst 2422880 2423040 wie 2423040 2423260 mache 2423260 2423380 ich 2423380 2423520 aus 2423520 2423680 dem 2423680 2424660 Contravarianten 2424660 2424940 einen 2424940 2427820 Covariantenvektor 2427820 2428200 so 2428200 2428480 eine 2428480 2428900 Form 2428900 2429100 einer 2429100 2429600 Gleichung 2429600 2430320 hier 2430320 2430500 die 2430500 2430780 nennt 2430780 2431080 man 2431080 2432000 manifest 2432000 2434180 kovariant 2434180 2434780 Manifest 2434780 2435900 für 2435900 2436660 handgreiflich 2436660 2437500 gemacht 2437500 2437680 ihr 2437680 2437940 kann 2437940 2438120 ich 2438120 2438660 mit 2438660 2439060 Händen 2439060 2440340 greifen 2440340 2440560 dass 2440560 2440840 meine 2440840 2441300 Größen 2441300 2441480 sich 2441480 2442140 kovariant 2442140 2443020 transformieren 2443020 2444080 oder 2444080 2444960 kontravariant 2444960 2445060 an 2445060 2445180 der 2445180 2445460 Stelle 2445460 2445700 ist 2445700 2445800 ein 2445800 2446720 bisschen 2446720 2447200 gruselig 2447200 2447320 im 2447320 2448300 Ausdruck 2448300 2448420 aber 2448420 2448680 sicher 2448680 2448940 gibt's 2448940 2449500 auch 2449500 2449900 andere 2449900 2450580 Erntegrößen 2450580 2450960 drin 2450960 2451240 aber 2451240 2451780 trotzdem 2451780 2451920 nennt 2451920 2452060 man 2452060 2452220 diese 2452220 2452640 Gleichung 2452640 2452920 dann 2452920 2453540 manifest 2453540 2455600 kovariant 2455600 2456220 physikalischen 2456220 2456600 Gesetze 2456600 2456780 muss 2456780 2456940 ich 2456940 2457120 in 2457120 2457380 so 2457380 2457840 einer 2457840 2458520 manifest 2458520 2459240 Covarianten 2459240 2459540 vom 2459540 2460020 Schreiben 2460020 2460360 können 2460360 2460620 sonst 2460620 2460820 habe 2460820 2460940 ich 2460940 2461380 irgendwas 2461380 2461720 falsch 2461720 2462860 gemacht 2462860 2463080 das 2463080 2463360 wäre 2463360 2463520 so 2463520 2463680 als 2463680 2463820 ob 2463820 2463900 ich 2463900 2464540 zum Beispiel 2464540 2464940 sage 2464940 2465280 irgend 2465280 2465420 ein 2465420 2465840 Vektor 2465840 2466360 ist gleich 2466360 2467420 zweiundvierzig 2467420 2467640 das 2467640 2467840 kann 2467840 2468040 nicht 2468040 2469000 funktionieren 2469000 2469760 ?? 2469760 2469920 es 2469920 2470200 müssen 2470200 2470400 also 2470400 2470520 die 2470520 2471060 Einheiten 2471060 2471520 stimmen 2471520 2471720 von 2471720 2471960 denen 2471960 2472120 ist 2472120 2472220 der 2472220 2472400 gar 2472400 2472600 nicht 2472600 2472700 die 2472700 2473180 Rede 2473180 2473360 ?? 2473360 2473780 und 2473780 2473960 es 2473960 2474520 muss 2474520 2474780 das 2474780 2475660 Summationsverhalten 2475660 2476800 stimmen 2476800 2477020 und 2477020 2477300 selbst 2477300 2477580 dann 2477580 2477800 ist 2477800 2477960 noch 2477960 2478160 nicht 2478160 2479240 gesichert 2479240 2479420 ob 2479420 2479520 die 2479520 2479960 Gleichung 2479960 2480120 auch 2480120 2480560 sinnvoll 2480560 2481040 ist 2481040 2481420 aber 2481420 2481980 mindestens 2481980 2482140 das 2482140 2483480 Translationsverhalten 2483480 2483840 und 2483840 2483940 die 2483940 2484420 Einheiten 2484420 2484680 müssen 2484680 2484840 schon 2484840 2486340 bestimmen 2486340 2486580 was 2486580 2486820 nicht 2486820 2487140 erlaubt 2487140 2487440 wäre 2487440 2487740 wäre 2487740 2487920 wenn 2487920 2488260 hier 2488260 2488400 ein 2488400 2488880 Quadrat 2488880 2489840 stünde 2489840 2490580 F 2490580 2491020 und 2491020 2491340 alpha 2491340 2491700 Wetter 2491700 2491900 ins 2491900 2492820 Quadrat 2492820 2493080 das 2493080 2493320 würde 2493320 2493520 sich 2493520 2493740 nicht 2493740 2494060 richtig 2494060 2494760 transformieren 2494760 2495020 oder 2495020 2495240 Wände 2495240 2495660 des 2495660 2496020 Kinos 2496020 2496480 stünde 2496480 2496760 von 2496760 2497120 elf 2497120 2497480 Alpha 2497480 2498300 Beta 2498300 2498580 das 2498580 2498780 würde 2498780 2498980 auch 2498980 2499140 nicht 2499140 2499420 richtig 2499420 2500460 transformieren 2500460 2500760 oder 2500760 2500960 wenn 2500960 2501500 ich 2501500 2501800 zwei 2501800 2501980 paar 2501980 2502300 Schuhe 2502300 2502840 addieren 2502840 2502860 ?? 2502860 2503040 wenn 2503040 2503120 er 2503120 2503400 sowas 2503400 2503780 stünde 2503780 2504020 wie 2504020 2504360 F 2504360 2504780 unten 2504780 2505140 Alpha 2505140 2505760 Beta 2505760 2506320 Plus 2506320 2507000 X 2507000 2508140 better 2508140 2508400 X 2508400 2508700 better 2508700 2509060 Transfer 2509060 2509220 mit 2509220 2509340 auf 2509340 2509680 seine 2509680 2510100 Weise 2510100 2510400 elf 2510400 2510900 alphabet 2510900 2511120 auf 2511120 2511420 seine 2511420 2511780 Weise 2511780 2512580 zusammen 2512580 2512780 wird 2512780 2512960 das 2512960 2514060 Murks 2514060 2514320 oder 2514320 2514480 wenn 2514480 2514660 diese 2514660 2515020 Index 2515020 2515600 Beta 2515600 2516180 dreimal 2516180 2517420 vorkäme 2517420 2517880 oder 2517880 2518080 wenn 2518080 2518260 das 2518260 2518680 Alpha 2518680 2518920 hier 2518920 2519260 oben 2519260 2519720 stünde 2519720 2519920 und 2519920 2520060 auf 2520060 2520160 der 2520160 2520460 linken 2520460 2520760 Seite 2520760 2521080 unten 2521080 2521560 stimmte 2521560 2522240 und so weiter 2522240 2523140 und so weiter 2523140 2523380 All 2523380 2523640 das 2523640 2523920 wäre 2523920 2524120 nicht 2524120 2524680 manifest 2524680 2526940 kovariant 2526940 2527140 man 2527140 2527480 solche 2527480 2528000 Ausdrücke 2528000 2528340 drin 2528340 2528820 hat 2528820 2528920 in 2528920 2529140 seinen 2529140 2530160 Gesetzmäßigkeiten 2530160 2530460 weiß 2530460 2530680 man 2530680 2531080 irgendwas 2531080 2531220 ist 2531220 2531440 schief 2531440 2531980 gelaufen