1234 2998 jetzt 2998 3299 etwas 3299 3459 mehr 3459 4060 Mathematik 4060 4261 eine 4261 4581 Sache 4581 4762 die 4762 5463 einem 5463 5644 dann 5644 6846 tatsächlich 6846 6947 in 6947 7047 der 7047 7388 Praxis 7388 7788 helfen 7788 8189 kann 8189 8370 es 8370 8670 gibt 8670 8971 diese 8971 9572 Näherung 9572 11517 Formel 11517 11757 dass 11757 11897 die 11897 12318 erste 12318 12940 Ableitung 12940 13140 einer 13140 13681 Funktion 13681 13822 an 13822 13942 der 13942 14283 Stelle 14283 15345 X 15345 16107 ungefähr 16107 18011 ist 18011 18171 ich 18171 18472 gucke 18472 18632 mir 18632 18913 meine 18913 20336 Funktion 20336 20456 ein 20456 20957 Stückchen 20957 21278 weiter 21278 21779 rechts 21779 22120 an 22120 22481 Plus 22481 24024 Haar 24024 24525 minus 24525 24665 ich 24665 24906 gucke 24906 25026 mir 25026 25287 meine 25287 25848 Funktion 25848 25968 ein 25968 26349 Stückchen 26349 26690 weiter 26690 27171 links 27171 27632 an 27632 27973 minus 27973 28634 Haar 28634 28895 und 28895 29256 Teile 29256 29496 durch 29496 29857 zwei 29857 31340 H 31340 31520 das 31520 31761 braucht 31761 31921 man 31921 32302 nachher 32302 32483 wenn 32483 35269 man 35269 35609 Daten 35609 35910 rein 35910 37734 hat 37734 37975 sie 37975 38355 messen 38355 38516 ja 38516 38616 in 38616 38776 der 38776 39498 Wirklichkeit 39498 40641 nicht 40641 42304 Funktionen 42304 42465 die 42465 42625 sie 42625 42765 an 42765 43066 allen 43066 43447 möglichen 43447 43787 reellen 43787 44228 Zahlen 44228 44770 ausrechnen 44770 45110 können 45110 45311 das 45311 45411 es 45411 45591 was 45591 45812 in 45812 45992 der 45992 46574 Wirklichkeit 46574 47616 messen 47616 47856 sie 47856 49380 kriegen 49380 49600 einen 49600 50262 Messwert 50262 50422 von 50422 50582 mir 50582 50763 aus 50763 50923 bei 50923 51144 einer 51144 51605 Sekunde 51605 51925 zweite 51925 52326 Sekunde 52326 52527 dritte 52527 52948 Sekunde 52948 53188 vierte 53188 53970 Sekunde 53970 54150 in 54150 54751 regelmäßigen 54751 55293 Abständen 55293 55754 sämtliche 55754 56535 Messwerte 56535 56716 die 56716 57077 Klinge 57077 57257 nicht 57257 57578 wirklich 57578 57738 eine 57738 58780 durchgezogene 58780 59141 oder 59141 59322 wenn 59322 59442 sie 59442 59522 in 59522 59622 der 59622 60063 Praxis 60063 61887 messen 61887 62328 zumindest 62328 62468 nicht 62468 62569 in 62569 62789 dem 62789 63210 Computer 63210 64212 messen 64212 64773 was 64773 65034 das 65034 65415 typische 65415 65716 sein 65716 66658 wird 66658 67279 Rasierklingen 67279 67459 nur 67459 67800 lauter 67800 68261 einzelne 68261 68943 Punkte 68943 70286 das heißt 70286 70646 Auge 70646 70827 kann 70827 70907 ich 70907 71047 den 71047 71228 jetzt 71228 71809 Ableitungen 71809 72410 ausrechnen 72410 72571 das 72571 72791 haut 72791 72992 nicht 72992 73192 gut 73192 74755 hin 74755 74936 und 74936 75116 das 75116 75277 ist 75277 75377 die 75377 75818 übliche 75818 76259 Formel 76259 76419 um 76419 77141 Ableitungen 77141 79566 auszurechnen 79566 79827 meine 79827 80368 Messwerte 80368 80528 sind 80528 80648 im 80648 81109 Abstand 81109 83374 Haar 83374 83635 was 83635 83735 ich 83735 83915 dann 83915 84236 mache 84236 84517 ist 84517 85599 folgendes 85599 85820 ich 85820 86120 gucke 86120 87223 mir 87223 87664 den 87664 88365 nächsten 88365 88886 Messwert 88886 89989 an 89989 90149 und 90149 90269 den 90269 90670 Messwert 90670 92013 davor 92013 92053 ?? 92053 92294 von 92294 92474 X 92474 92675 plus 92675 93015 H 93015 93216 von 93216 93396 X 93396 93737 minus 93737 94258 H 94258 94499 und 94499 94619 ich 94619 94860 lege 94860 95461 dadurch 95461 95681 eine 95681 96022 gerade 96022 96162 und 96162 96423 gebe 96423 97305 deren 97305 97926 Steigung 97926 98167 an 98167 98407 oder 98407 98608 für 98608 98928 diese 98928 99410 beiden 99410 99850 hier 99850 100071 was 100071 100231 ist 100231 100372 die 100372 101474 Steigung 101474 101674 an 101674 101875 der 101875 102296 Stelle 102296 102817 geschätzt 102817 103037 sich 103037 103378 die 103378 103919 sehen 103919 104160 aber 104160 104360 soll 104360 104501 das 104501 105082 sein 105082 105302 schwer 105302 105443 zu 105443 106345 schätzen 106345 106405 ?? 106405 106645 eine 106645 106806 sehr 106806 107207 sinnvolle 107207 107648 Schätzung 107648 107868 ist 107868 108028 dass 108028 108129 sie 108129 108309 sich 108309 108449 den 108449 108930 Punkt 108930 109492 danach 109492 109893 nehmen 109893 110053 den 110053 110313 Punkt 110313 110434 der 110434 111175 vornehmen 111175 111616 Exodus 111616 112137 HX 112137 112899 Minushaar 112899 113400 und 113400 113861 dadurch 113861 114062 eine 114062 114422 gerade 114422 115906 bestimmen 115906 116066 und 116066 116507 sagen 116507 116988 okay 116988 117369 diese 117369 117790 gerade 117790 118050 hier 118050 118211 das 118211 118331 sieht 118331 118471 doch 118471 118712 gut 118712 118972 aus 118972 119133 als 119133 119333 ob 119333 119574 das 119574 119694 die 119694 120195 Steigung 120195 120476 sein 120476 120837 sollte 120837 120977 wie 120977 121077 die 121077 121478 gerade 121478 121718 durch 121718 121959 diesen 121959 123302 Punkt 123302 123462 noch 123462 123703 eine 123703 123843 mit 123843 123983 das 123983 124424 nicht 124424 124665 ganz 124665 125918 so 125920 126361 passiert 126361 126501 bei 126501 126682 den 126682 127022 beiden 127022 127203 das 127203 127383 ganz 127383 127744 heftig 127744 127884 wenn 127884 127985 ich 127985 128125 die 128125 128526 Steigung 128526 128646 an 128646 128887 diesem 128887 129167 Punkt 129167 129428 haben 129428 129588 wir 129588 129748 für 129748 129969 den 129969 130470 Messwert 130470 130630 was 130630 130751 es 130751 130991 meine 130991 131512 Ableitung 131512 131612 an 131612 131813 dieser 131813 133517 Stelle 133517 134499 gesehen 134499 134659 das 134659 134759 es 134759 135020 nicht 135020 135220 zu 135220 135762 schätzen 135762 135922 was 135922 136162 werden 136162 136603 vernünftige 136603 136984 Schätzung 136984 137085 ich 137085 137305 nehmen 137305 137445 den 137445 137666 Wert 137666 138267 danach 138267 138407 den 138407 138728 Wärter 138728 139329 vorliege 139329 139670 dadurch 139670 140151 gerade 140151 140272 und 140272 141093 sage 141093 141374 die 141374 142917 Steigung 142917 143438 genehmigt 143438 143619 als 143619 144360 Tagentensteigung 144360 144561 ?? 144561 144842 Punkt 144842 144922 in 144922 145022 der 145022 145283 Mitte 145283 145483 das 145483 145663 ist 145663 146245 diese 146245 146786 Formel 146786 148089 hier 148089 148269 eine 148269 148810 zentrale 148810 149291 Differenz 149291 149412 für 149412 149752 das 149752 149993 gerne 149993 150935 heißt 150935 151817 am 151817 152198 ?? 152198 152538 benutzt 152538 152679 man 152679 152879 gern 152879 153040 als 153040 153420 Schätzung 153420 153601 für 153601 153841 die 153841 154763 Ableitung 154763 154924 als 154924 155184 Komma 155184 155365 wenn 155365 155625 endlich 155625 155886 zur 155886 157289 Aufgabe 157289 158532 zu 158532 159895 Aufgabe 159895 160416 zeigen 160416 160576 sie 160576 160817 das 160817 161077 diese 161077 161558 Formel 161558 161919 sogar 161919 162781 exakt 162781 164585 ist 164585 164805 wenn 164805 164986 das 164986 165286 F 165286 165908 ein 165908 166669 quadratisches 166669 167291 Polynom 167291 169255 ist 169255 172001 zeige 172003 172284 das 172284 172504 ist 172504 172845 sogar 172845 175771 exakt 176929 178994 wenn 178994 179134 er 179134 179394 von 179394 179635 X 179635 180016 folgende 180016 180437 Form 180437 181218 hat 181218 181679 einmal 181679 181920 X 181920 182501 Quadrat 182501 182822 plus 182822 183062 B 183062 183323 mal 183323 183864 X 183864 184165 plus 184165 186791 C 186791 187412 das heißt 187412 187552 dann 187552 190058 nämlich 190058 190298 dass 190298 190739 ich 190739 191140 folgendes 191140 191461 tun 191461 192162 kann 192162 192363 ich 192363 192764 lege 192764 193064 eine 193064 194488 Parabel 194488 194728 durch 194728 194969 drei 194969 196151 Punkte 196151 196372 welche 196372 196712 Punkte 196712 196853 die 196853 197234 noch 197234 198035 freigegeben 198035 198216 immer 198216 198376 diese 198376 198597 drei 198597 200300 ?? 200300 200481 über 200481 200581 die 200581 200821 drei 200821 201242 hier 201242 201423 ich 201423 201703 lege 201703 201904 eine 201904 202565 Parabel 202565 202826 durch 202826 203066 drei 203066 205863 Punkte 205938 206158 und 206158 206519 lese 206519 206700 dann 206700 206880 an 206880 207000 der 207000 207682 Parabel 207682 207902 ab 207902 208143 was 208143 208804 die 208804 209305 Steigung 209305 209646 sein 209646 209927 soll 209927 210127 das 210127 210628 passierte 210628 212452 eigentlich 212452 212593 nur 212593 212793 Komma 212793 212933 dass 212933 213334 vielleicht 213334 215519 ausrechnen 215519 215840 zeigen 215840 215920 Sie 215920 216120 das 216120 216281 mal 216281 216521 diese 216521 216942 Formel 216942 217163 wird 217163 218205 exakt 218205 218385 wenn 218385 218626 meine 218626 219207 Funktion 219207 219408 von 219408 219628 dieser 219628 220009 Form 220009 221873 ist 221873 222053 hier 222053 222234 wohl 222234 222514 kein 222514 222955 ordentliches 222955 223296 gerundet 223296 224298 haben 224298 224559 soll 224559 224719 für 224719 224799 die 224799 227104 Schmierereien 227104 227606 so 227606 227786 auf 227786 227906 der 227906 228307 linken 228307 230452 Seite 230452 231835 war 231835 232115 aus 232115 232877 ?? 232877 233158 auf 233158 233278 der 233278 233679 linken 233679 234661 Seite 234661 234902 meine 234902 235503 Funktion 235503 237768 ableiten 237768 238008 haben 238008 238109 sie 238109 238850 gesehen 238850 239291 zwei 239291 239391 ?? 239391 239652 X 239652 239872 plus 239872 241997 B 241997 242358 besteht 242358 242518 auf 242518 242619 der 242619 242939 linken 242939 243300 Seite 243300 243440 das 243440 243561 ist 243561 243681 nicht 243681 243821 das 243821 244823 Problem 244823 245064 auf 245064 245164 der 245164 245465 rechten 245465 245745 Seite 245745 246066 wird 246066 246407 bisschen 246407 249353 unübersichtlicher 249353 249975 reichen 249975 250235 meine 250235 250516 rechte 250516 252971 Seite 255372 255773 in 255773 256114 meine 256114 257396 Funktion 257396 257657 X 257657 257877 plus 257877 258058 H 258058 258559 einsetzen 258559 258800 also 258800 259321 nicht 259321 259822 vergessen 259822 260002 eine 260002 260243 Stelle 260243 260523 gesehen 260523 260784 nicht 260784 260864 die 260864 261465 Funktion 261465 261726 Plus 261726 262949 Haar 262949 263129 nicht 263129 263189 die 263189 263730 Fusionen 263730 264452 ausrechnen 264452 265354 Namensvergabe 265354 266116 Klammer auf 266116 266356 Plus 266356 266877 Haar 266877 267659 sondern 267659 267839 in 267839 267960 die 267960 268681 Funktion 268681 268862 X 268862 269303 groß H 269303 272129 einsetzen 272129 272369 das 272369 272630 steht 272630 273472 also 273472 273752 A 273752 274253 mal 274253 274514 X 274514 274775 plus 274775 275316 H 275316 276338 Quadrat 276338 276919 groß B 276919 277340 mal 277340 277541 X 277541 277821 plus 277821 278623 H 278623 278884 plus 278884 279846 C 279846 280026 in 280026 280146 die 280146 280728 Funktion 280728 280868 X 280868 281068 plus 281068 281209 H 281209 281830 eingesetzt 281830 283554 minus 283554 283834 X 283834 284295 Minushaar 284295 284937 einsetzen 284937 285398 einmal 285398 285658 X 285658 286079 minus 286079 287362 Haarquadrat 287362 287964 abziehen 287964 288465 minus 288465 288785 B 288785 289206 mal 289206 289547 X 289547 290970 Minushaar 290970 291431 minus 291431 292854 zehn 292854 293095 jetzt 293095 293295 fällt 293295 293516 ganz 293516 293696 viel 293696 294338 wegsehen 294338 294718 C 294718 294899 und 294899 295199 C 295199 295560 fällt 295560 297464 weg 297464 297785 B 297785 298066 mal 298066 299910 X 299910 300531 minus 300531 300752 B 300752 301032 mal 301032 302856 X 302856 303818 Feldweg 303818 304119 dieses 304119 304420 X 304420 304620 sich 304620 304821 dann 304821 306344 raus 306344 307867 an 307867 308108 X 308108 308950 Plushagen 308950 309130 in 309130 309431 Klammern 309431 309591 ins 309591 310533 Quadrat 310533 311996 ausbuchstabieren 311996 312457 steter 312457 312798 großer 312798 313359 Bruchstrich 313359 313600 durch 313600 313880 zwei 313880 314622 H 314622 314943 A 314943 315805 mal 315805 315985 X 315985 316165 plus 316165 316306 H 316306 317128 Quadratsmatrix 317128 317548 Quadrat 317548 317969 plus 317969 318571 zwei 318571 318871 X 318871 319573 H 319573 320094 groß H 320094 322499 Quadrat 322499 322800 plus 322800 323862 Lehmannhaarhammer 323862 325065 der 325065 326087 minus 326087 326488 A 326488 327089 mal 327089 327350 jetzt 327350 327490 das 327490 327651 mit 327651 328212 minus 328212 328493 sechs 328493 329334 Quadratmeters 329334 329635 zwei 329635 329896 X 329896 330978 H 330978 331339 groß H 331339 333944 Quadrat 334787 335208 minus 335208 335589 B 335589 335749 bei 335749 336090 minus 336090 336270 H 336270 337453 machtlos 337453 340139 WH 340953 342055 äh 342055 342416 sowas 342416 343338 kommuniziert 343338 343779 einmal 343779 344000 X 344000 344561 Quadrat 344561 345283 minus 345283 345643 einmal 345643 345844 X 345844 346225 Quadrat 346225 346425 des 346425 346666 X 346666 347167 Quadrat 347167 347447 fließt 347447 347688 jetzt 347688 347908 noch 347908 348971 aus 348971 350755 amalhaquadratsminus 350755 350935 A 350935 351155 mal 351155 351316 H 351316 351837 Quadrat 351837 352017 das 352017 352238 H 352238 353019 Quadratspflicht 353019 353200 noch 353200 355084 raus 355084 355325 muss 355325 355525 dann 355525 358331 bald 358331 359213 groß O Strich 359213 359454 durch 359454 359754 zwei 359754 361538 H 361538 361859 A 361859 362540 mal 362540 363282 zwei 363282 363883 X 363883 365407 Haar 365407 365848 Beistrich 365848 366188 alle 366188 366710 einmal 366710 367191 zwei 367191 367852 X 367852 368934 H 368934 369676 plus 369676 369977 B 369977 370297 mal 370297 372141 haarminus 372141 372362 A 372362 372723 mal 372723 373244 minus 373244 373605 zwei 373605 373885 X 373885 374447 Haar 374447 375308 minus 375308 375870 minus 375870 376471 macht 376471 377112 plus 377112 377613 Amal 377613 378014 zwei 378014 378335 X 378335 379939 H 379939 380299 plus 380299 380520 B 380520 380780 mal 380780 384228 Haar 384228 384408 Komma 384408 384569 das 384569 384849 Haar 384849 385190 überall 385190 387976 kürzen 391581 392663 so 392663 392904 jetzt 392904 393124 haben 393124 393545 wir 393545 394086 einmal 394086 394447 zwei 394447 395089 X 395089 395650 plus 395650 396151 Amal 396151 396472 zwei 396472 396853 X 396853 397133 durch 397133 398256 zwei 398256 398957 zwei 398957 399198 A 399198 401182 X 401182 401823 B 401823 402124 und 402124 402625 B 402625 403026 zwei 403026 403267 B 403267 403567 durch 403567 403928 zwei 403928 404269 sind 404269 405652 B 405652 406033 zwei 406033 406193 R 406193 406454 X 406454 408969 groß B 409079 409480 was 409480 409961 dasselbe 409961 411845 ist 411845 412046 eine 412046 413348 Rechnung 413348 413709 kurzer 413709 413990 Sinn 413990 414190 als 414190 414952 es 414952 415172 nur 415172 415493 dummes 415493 416074 einsetzen 416074 416195 an 416195 416315 der 416315 418540 Stelle 418540 418700 das 418700 419161 Resultat 419161 419281 ist 419281 419422 das 419422 419823 wichtige 419823 421166 hier 421166 421406 man 421406 422829 kann 422829 423150 die 423150 424212 Ableitung 424212 424513 sehr 424513 424693 gut 424693 425896 schätzen 425896 426096 in 426096 426257 so 426257 426557 einer 426557 427339 Zeitreihe 427339 427680 indem 427680 427840 man 427840 428101 einen 428101 428321 Schritt 428321 428702 weiter 428702 429103 geht 429103 429364 einen 429364 429564 Schritt 429564 430326 zurückgehen 430326 430827 und 430827 431388 dann 431388 431649 eine 431649 432009 gerade 432009 432490 dadurch 432490 432811 legt 432811 432991 das 432991 433112 es 433112 433332 diese 433332 434194 Formel 434194 434475 ist 434475 434515 ?? 434515 434956 schlechte 434956 436399 Idee 436399 436499 ?? 436499 436619 die 436619 437080 Ableitung 437080 437301 hier 437301 437642 wissen 437642 437982 will 437982 438243 ein 438243 438443 Schritt 438443 438624 nach 438624 438925 vorne 438925 439145 zu 439145 439446 gehen 439446 439907 Komma 439907 440047 ich 440047 440207 geh 440207 440548 besser 440548 440749 ein 440749 440929 nach 440929 441210 vorn 441210 441330 und 441330 441671 eins 441671 442051 zurück 442051 442212 und 442212 442472 werde 442472 442673 dann 442673 442773 die 442773 443615 Ableitung 443615 443795 können 443795 443895 Sie 443895 444096 auch 444096 444577 nachrechnen 444577 444757 dass 444757 444938 das 444938 445058 dann 445058 445218 nicht 445218 445339 mehr 445339 447223 hinkommen 447223 447363 es 447363 447543 gibt 447543 448004 analoge 448004 448325 Formel 448325 448506 für 448506 448606 die 448606 449387 zweite 449387 450710 Ableitung 450710 450971 lassen 450971 451131 mich 451131 451372 gerade 451372 451492 noch 451492 452675 hinschreiben 452675 453096 analoge 453096 453436 Formel 453436 453617 für 453617 453697 die 453697 454058 zweite 454058 455000 Ableitung 455000 455240 die 455240 455481 gilt 455481 455641 dann 455641 455922 sogar 455922 456142 für 456142 456764 Polynom 456764 456924 mit 456924 457345 Grad 457345 457986 drei 457986 458247 bis 458247 458508 zum 458508 458828 Grad 458828 459991 drei 459991 460432 zweite 460432 460913 Ableitung 460913 461113 kann 461113 461213 ich 461213 461735 schätzen 461735 464290 als 464328 464448 ich 464448 464729 nehme 464729 464889 den 464889 467274 Funktionswert 467274 468136 links 468136 468577 minus 468577 469139 zweimal 469139 469279 den 469279 470321 Funktionswert 470321 470482 in 470482 470602 der 470602 471604 Mitte 471604 472005 plus 472005 472185 den 472185 472947 Funktionswert 472947 474851 rechts 474851 475933 durch 475933 476194 den 476194 476615 Abstand 476615 476795 ins 476795 478519 Quadrat 478519 478720 ist 478720 479221 einfachstes 479221 479762 Tutoren 479762 479942 oder 479942 480263 sonst 480263 480363 wo 480363 480644 rechnen 480644 480764 Sie 480764 481065 einmal 481065 481686 nach 481686 482047 ob 482047 482328 minus 482328 482588 zwei 482588 482869 ?? 482869 484833 gesagt 484833 485033 Komma 485033 485274 nach 485274 485575 damit 485575 485795 Komma 485795 485915 die 485915 486296 zweite 486296 486757 Ableitung 486757 487138 schätzen 487138 487218 und 487218 487379 das 487379 487559 geht 487559 487779 sogar 487779 488000 noch 488000 488702 besser 488702 488862 für 488862 489423 Polynom 489423 489603 bis 489603 489824 zum 489824 490485 Grad 490485 491498 drei